Seja
. Encontre
. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz
onde
é uma matriz específica fornecida. O conteúdo aqui envolve matrizes e potências de matrizes, especialmente matrizes de rotação. Para resolver, vamos precisar entender como matrizes de rotação funcionam e como calcular potências de matrizes de forma simplificada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz
:
Essa matriz parece familiar, né? Ela se parece com uma matriz de rotação. Uma matriz de rotação no plano é geralmente escrita assim:
Comparando com a matriz
, vemos que:
Isso significa que
(ou
radianos), porque
.
Passo 3
Agora que sabemos que
é uma matriz de rotação de
, queremos encontrar
. Quando a gente eleva uma matriz de rotação a uma potência, o que realmente está acontecendo é que o ângulo de rotação está sendo multiplicado por essa potência.
Então,
Passo 4
Vamos calcular o ângulo total da rotação:
Mas, como as rotações são cíclicas a cada
, podemos simplificar esse ângulo pegando o resto da divisão de
por
:
Então, na verdade,
Passo 5
E olha só,
é exatamente a matriz
que a gente começou! Então, após tantas rotações, a gente volta para a posição inicial.