Seja B=(cc1 / raiz2 & -1 / raiz2 1 / raiz2 & 1 / raiz2). Encontre B^2001. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz onde é uma matriz específica fornecida. O conteúdo aqui envolve matrizes e potências de matrizes, especialmente matrizes de rotação. Para resolver, vamos precisar entender como matrizes de rotação funcionam e como calcular potências de matrizes de forma simplificada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz B = 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 :
R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta
Essa matriz parece familiar, né? Ela se parece com uma matriz de rotação. Uma matriz de rotação no plano é geralmente escrita assim:
costheta = 1raiz2 e sintheta = 1raiz2
Comparando com a matriz , vemos que:
Isso significa que (ou radianos), porque .

Passo 3

Agora que sabemos que B^2001 = R(2001 times 45^circ) é uma matriz de rotação de , queremos encontrar . Quando a gente eleva uma matriz de rotação a uma potência, o que realmente está acontecendo é que o ângulo de rotação está sendo multiplicado por essa potência.
Então,

Passo 4

Vamos calcular o ângulo total da rotação:
2001 times 45^circ = 90,045^circ
Mas, como as rotações são cíclicas a cada 90,045^circ mod 360^circ = 45^circ , podemos simplificar esse ângulo pegando o resto da divisão de B^2001 = R(45^circ) por :
Então, na verdade,

Passo 5

E olha só, é exatamente a matriz que a gente começou! Então, após tantas rotações, a gente volta para a posição inicial.

Resposta

B^2001 = B = 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2

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