Problema 1.3 Os pontos P(3,-2) e Q(1,4) pertencem ao lugar geométrico definido pela equação
A x^2+y^2+B x+7 y+2=0
Determine os valores das constantes A e B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois pontos, e , que estão na “lugar geométrico” definido pela equação . Nosso objetivo é descobrir os valores de e . Para isso, vamos mexer com um pouco de geometria analítica e resolver um sistema de equações, já que temos duas incógnitas e dois pontos que nos dão informações suficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o ponto A(3)^2 + (-2)^2 + B(3) + 7(-2) + 2 = 0 na equação dada. Isso significa que vamos substituir por 3 e por -2 na equação:
Vamos resolver isso passo a passo para deixar tudo claro.

Passo 3

Vamos calcular cada termo da substituição:
A(9) + 4 + 3B - 14 + 2 = 0
Simplificando:
9A + 3B - 8 = 0
Esse é a nossa primeira equação. Vamos chamar ela de Equação (1):
9A + 3B = 8

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo com o segundo ponto A(1)^2 + (4)^2 + B(1) + 7(4) + 2 = 0 . Substituindo A + 16 + B + 28 + 2 = 0 e A + B + 46 = 0 na equação original:
A + B = -46
Calculando passo a passo:
Simplificando:
Essa é a nossa segunda equação, a Equação (2):

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
9A + 3B = 8 (1) A + B = -46 (2)
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação (2) por 3 para facilitar a eliminação:
3A + 3B = -138 (2a)
Agora, subtraímos a Equação (2a) da Equação (1):
9A + 3B - (3A + 3B) = 8 - (-138)
Simplificando:
6A = 146
Então:
A = 1466 = 733
Agora que temos 733 + B = -46 , vamos substituir na Equação (2) para encontrar B = -46 - 733 = -1383 - 733 = -2113 :

Resposta

As constantes são e .

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