Estabelecer equações gerais dos planos bismectores dos diedros formados pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações gerais dos planos bissectores dos diedros formados pelos planos e . Isso está relacionado à geometria analítica, especificamente ao estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que são planos bissectores e como identificar os diedros formados pela interseção de dois planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os planos e têm equações simples:
Plano :
Plano :
Esses dois planos se intersectam ao longo do eixo . A interseção de dois planos forma diedros, que são os ângulos entre os planos.
Passo 3
Como os planos e são perpendiculares (formam um ângulo de 90°), eles criam quatro diedros iguais. Para encontrar os planos bissectores desses diedros, precisamos encontrar planos que dividem esses ângulos de 90° ao meio, ou seja, planos que formam um ângulo de 45° com cada um dos planos e .
Passo 4
Para encontrar os planos bissectores, vamos considerar que eles devem ter a mesma inclinação em relação aos planos e . Então, procuramos planos que formem um ângulo de 45° com cada um desses planos.
Sabemos que a equação geral de um plano que faz um ângulo com o plano (plano ) pode ser escrita como:
Como , temos . Então, a equação simplifica para:
Passo 5
De forma similar, para o plano (), a equação do plano bissector será:
No nosso caso, como os planos são perpendiculares e simétricos em relação ao eixo , podemos simplificar e considerar os planos bissectores nas direções e .
Passo 6
Portanto, as equações gerais dos planos bissectores dos diedros formados pelos planos e são: