Estabelecer equações gerais dos planos bismectores dos diedros formados pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações gerais dos planos bissectores dos diedros formados pelos planos e . Isso está relacionado à geometria analítica, especificamente ao estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que são planos bissectores e como identificar os diedros formados pela interseção de dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os planos e têm equações simples:
  • Plano :
  • Plano :
Esses dois planos se intersectam ao longo do eixo . A interseção de dois planos forma diedros, que são os ângulos entre os planos.

Passo 3

Como os planos e são perpendiculares (formam um ângulo de 90°), eles criam quatro diedros iguais. Para encontrar os planos bissectores desses diedros, precisamos encontrar planos que dividem esses ângulos de 90° ao meio, ou seja, planos que formam um ângulo de 45° com cada um dos planos e .

Passo 4

Para encontrar os planos bissectores, vamos considerar que eles devem ter a mesma inclinação em relação aos planos e . Então, procuramos planos que formem um ângulo de 45° com cada um desses planos.
Sabemos que a equação geral de um plano que faz um ângulo com o plano (plano ) pode ser escrita como:
Como , temos . Então, a equação simplifica para:

Passo 5

De forma similar, para o plano ( ), a equação do plano bissector será:
No nosso caso, como os planos são perpendiculares e simétricos em relação ao eixo , podemos simplificar e considerar os planos bissectores nas direções e .

Passo 6

Portanto, as equações gerais dos planos bissectores dos diedros formados pelos planos e são:

Resposta

As equações gerais dos planos bissectores são e .

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Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.
Dado o ponto e o plano , determinar:
(a) equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular a ;
(b) a projeção ortogonal de sobre ;
© o ponto simétrico de em relação a ;
(d) a distância de até o plano .
Discuta os seguintes sistemas:
Calcular a distância de a nos seguintes casos:
(a) e ;
(b) e .