Estabelecer equações gerais dos planos bismectores dos diedros formados pelos planos Oxz e Oyz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações gerais dos planos bissectores dos diedros formados pelos planos e . Isso está relacionado à geometria analítica, especificamente ao estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que são planos bissectores e como identificar os diedros formados pela interseção de dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os planos e têm equações simples:
  • Plano :
  • Plano :
Esses dois planos se intersectam ao longo do eixo . A interseção de dois planos forma diedros, que são os ângulos entre os planos.

Passo 3

Como os planos e são perpendiculares (formam um ângulo de 90°), eles criam quatro diedros iguais. Para encontrar os planos bissectores desses diedros, precisamos encontrar planos que dividem esses ângulos de 90° ao meio, ou seja, planos que formam um ângulo de 45° com cada um dos planos e .

Passo 4

Para encontrar os planos bissectores, vamos considerar que eles devem ter a mesma inclinação em relação aos planos yraiza^2 + b^2 = tan(theta) e y = pm (a x + b z) . Então, procuramos planos que formem um ângulo de 45° com cada um desses planos.
Sabemos que a equação geral de um plano que faz um ângulo com o plano (plano ) pode ser escrita como:
Como , temos . Então, a equação simplifica para:

Passo 5

De forma similar, para o plano x = pm (c y + d z) ( ), a equação do plano bissector será:
No nosso caso, como os planos são perpendiculares e simétricos em relação ao eixo , podemos simplificar e considerar os planos bissectores nas direções e .

Passo 6

Portanto, as equações gerais dos planos bissectores dos diedros formados pelos planos x = y e x = -y são:

Resposta

As equações gerais dos planos bissectores são e .

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