Dado o ponto P(p, 1, q) pertencente à reta que passa por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1), os valores de p e q, são, respectivamente:
a.
4 e 9
b.
1 e 3
c.
2 e 4
d.
2 e 9
e.
3 e 9

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto $ P(p, 1, q) $ que está na reta que passa pelos pontos $ A(3, -1, 4) $ e $ B(4, -3, -1) $. Nosso objetivo é encontrar os valores de $ p $ e $ q $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação paramétrica de uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como escrever a equação paramétrica de uma reta que passa por dois pontos. Se temos dois pontos $ A(x_1, y_1, z_1) $ e $ B(x_2, y_2, z_2) $, a equação paramétrica da reta que une esses pontos é dada por:
A(x1, y1, z1)
Aqui, $ t $ é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos pontos $ A(3, -1, 4) $ e $ B(4, -3, -1) $. Calculando as diferenças das coordenadas:
A(3, -1, 4)
Então, a equação paramétrica da reta fica:
B(4, -3, -1)

Passo 4

Agora, sabemos que o ponto $ P(p, 1, q) $ está nessa reta. Isso significa que as coordenadas de $ P $ devem satisfazer as equações paramétricas da reta para algum valor de $ t $. Vamos igualar as coordenadas de $ P $ às equações da reta:
P(p, 1, q)

Passo 5

Vamos começar resolvendo a segunda equação para encontrar $ t $:
t

Passo 6

Agora que temos $ t = -1 $, vamos usar esse valor para encontrar $ p $ e $ q $ nas outras equações.
Para $ p $:
t = -1
Para $ q $:
p

Resposta

Os valores de $ p $ e $ q $, respectivamente, são 2 e 9.

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