UTILIZANDO A REGRA DE L’HÔPITAL, DETERMINE OS LIMITE ABAIXO: A) Lim x²-5x+4 X-1 x³+ x -2 B) Lim sen2x X-> O sen3x c) Lim 1- Cosx x² x-> O D) Lim 5x² - 2x oo
7x² +1​

Passo 1

E aí! Vamos resolver esses limites usando a Regra de L’Hôpital. A matéria que estamos trabalhando aqui é o cálculo de limites, mais especificamente quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Para aplicar a regra de L’Hôpital, precisamos que tanto o numerador quanto o denominador tendam a 0 ou ambos tendam a infinito quando x se aproxima do valor em questão.

Passo 2

Parte A

Vamos começar com a Parte A:
limx to 1 x^2 - 5x + 4x^3 + x - 2
Primeiro, vamos verificar se substituindo x = 1 temos uma forma indeterminada:
Numerador: 1^2 - 5(1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0
Denominador: 1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
Como obtemos 0/0, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.

Passo 3

Derivando o numerador e o denominador:
Derivada do numerador: ddx(x^2 - 5x + 4) = 2x - 5
Derivada do denominador: ddx(x^3 + x - 2) = 3x^2 + 1
Agora, reescrevemos o limite com essas derivadas:
limx to 1 2x - 53x^2 + 1

Passo 4

Substituindo x = 1 nesse novo limite:
2(1) - 53(1)^2 + 1 = 2 - 53 + 1 = -34 = -34

Passo 5

Parte B

Agora, vamos para a Parte B:
limx to 0 sin(2x)sin(3x)
Primeiro, vamos verificar o comportamento das funções quando x se aproxima de 0:
sin(2x) approx 2x e sin(3x) approx 3x quando x to 0
Então, temos uma forma 0/0, e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 6

Derivando o numerador e o denominador:
ddx[sin(2x)] = 2cos(2x)
ddx[sin(3x)] = 3cos(3x)
Agora, o limite fica:
limx to 0 2cos(2x)3cos(3x)

Passo 7

Substituindo x = 0:
2cos(0)3cos(0) = 2 cdot 13 cdot 1 = 23

Passo 8

Parte C

Vamos para a Parte C:
limx to 0 1 - cos(x)x^2
Primeiro, substituindo x = 0:
1 - cos(0) = 1 - 1 = 0 e x^2 = 0
Obtemos a forma 0/0, então aplicamos a Regra de L’Hôpital.

Passo 9

Derivando o numerador e o denominador:
ddx[1 - cos(x)] = sin(x)
ddx[x^2] = 2x
O novo limite é:
limx to 0 sin(x)2x

Passo 10

Ainda temos uma forma 0/0 substituindo x = 0, então aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital.

Passo 11

Derivando novamente:
ddx[sin(x)] = cos(x)
ddx[2x] = 2
Agora, o limite fica:
limx to 0 cos(x)2

Passo 12

Substituindo x = 0:
cos(0)2 = 12

Passo 13

Parte D

Por fim, a Parte D:
limx to infty 5x^2 - 2x7x^2 + 1
Aqui, estamos lidando com limites no infinito. Quando o grau dos polinômios no numerador e denominador é o mesmo, o limite tende à razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 14

Identificando os termos de maior grau:
Numerador: 5x^2
Denominador: 7x^2
Então, o limite é:
57

Resposta

limx to infty 5x^2 - 2x7x^2 + 1 = 57

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