UTILIZANDO A REGRA DE L’HÔPITAL, DETERMINE OS LIMITE ABAIXO: A) Lim x²-5x+4 X-1 x³+ x -2 B) Lim sen2x X-> O sen3x c) Lim 1- Cosx x² x-> O D) Lim 5x² - 2x oo
7x² +1
7x² +1
Passo 1
E aí! Vamos resolver esses limites usando a Regra de L’Hôpital. A matéria que estamos trabalhando aqui é o cálculo de limites, mais especificamente quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Para aplicar a regra de L’Hôpital, precisamos que tanto o numerador quanto o denominador tendam a 0 ou ambos tendam a infinito quando x se aproxima do valor em questão.
Passo 2
Parte A
Vamos começar com a Parte A:
Primeiro, vamos verificar se substituindo x = 1 temos uma forma indeterminada:
Como obtemos 0/0, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Passo 3
Derivando o numerador e o denominador:
Agora, reescrevemos o limite com essas derivadas:
Passo 4
Substituindo x = 1 nesse novo limite:
Passo 5
Parte B
Agora, vamos para a Parte B:
Primeiro, vamos verificar o comportamento das funções quando x se aproxima de 0:
Então, temos uma forma 0/0, e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 6
Derivando o numerador e o denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 7
Substituindo x = 0:
Passo 8
Parte C
Vamos para a Parte C:
Primeiro, substituindo x = 0:
Obtemos a forma 0/0, então aplicamos a Regra de L’Hôpital.
Passo 9
Derivando o numerador e o denominador:
O novo limite é:
Passo 10
Ainda temos uma forma 0/0 substituindo x = 0, então aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital.
Passo 11
Derivando novamente:
Agora, o limite fica:
Passo 12
Substituindo x = 0:
Passo 13
Parte D
Por fim, a Parte D:
Aqui, estamos lidando com limites no infinito. Quando o grau dos polinômios no numerador e denominador é o mesmo, o limite tende à razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Passo 14
Identificando os termos de maior grau:
Então, o limite é: