Dados os pontos A(4, 7, 23), B(-18, 20, 1) e C(3, 3, 0), encontre uma equação vetorial do plano α que passa por estes pontos. Considere ⃗ u = → A B e ⃗ v = → A C .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica. A gente precisa encontrar a equação vetorial de um plano que passa por três pontos: A(4, 7, 23), B(-18, 20, 1) e C(3, 3, 0). Para isso, vamos usar vetores que representam os lados AB e AC. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores u = AB e v = AC. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
u = B - A = (-18 - 4, 20 - 7, 1 - 23) = (-22, 13, -22)
v = C - A = (3 - 4, 3 - 7, 0 - 23) = (-1, -4, -23)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, que é perpendicular tanto a u quanto a v. Podemos conseguir isso calculando o produto vetorial n = u times v.
Vamos calcular:
n = u times v = i & j & k -22 & 13 & -22 -1 & -4 & -23
n = i(13 times -23 - (-22) times -4) - j(-22 times -23 - (-22) times -1) + k(-22 times -4 - 13 times -1)
n = i(-299 - 88) - j(506 - 22) + k(88 + 13)
n = i(-387) - j(484) + k(101)
Então, o vetor normal é n = (-387, -484, 101).

Passo 4

Com o vetor normal n e um ponto no plano, por exemplo, o ponto A, podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial tem a forma:
r = r0 + su + tv
Onde r0 é o vetor posição do ponto A, e s e t são escalares.
Então, substituindo os valores:
r = 4 7 23 + s-22 13 -22 + t-1 -4 -23

Resposta

A equação vetorial do plano α é:
r = 4 7 23 + s-22 13 -22 + t-1 -4 -23, s, t in R

Exercícios relacionados