Dado o ponto P=(7,4,5) e a reta r:(x, y, z)=(-7,4,9)+t(-2,1,2).
(a) Determine a equação do plano pi que passa por P e é perpendicular à reta r;

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos um ponto e uma reta definida por . Queremos encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Para resolver isso, vamos precisar saber como determinar a equação de um plano usando um ponto e um vetor normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta . A equação paramétrica da reta nos mostra que o vetor diretor é . Como o plano é perpendicular à reta , o vetor diretor será o vetor normal do plano.

Passo 3

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e o ponto que pertence ao plano, podemos usar a fórmula geral da equação do plano:
Onde é o ponto e são as componentes do vetor normal .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
-2(x - 7) + 1(y - 4) + 2(z - 5) = 0

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar a equação:
-2x + 14 + y - 4 + 2z - 10 = 0
-2x + y + 2z = 0

Resposta

A equação do plano -2x + y + 2z = 0 é:

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(a) encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo A B C D,
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(b) determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v.