Dados os vetores
e
, encontrar a projeção ortogonal de
sobre
e decompor
como soma de
com
, sendo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores:
e
. A pergunta é para encontrar a projeção ortogonal de
sobre
e depois decompor
em duas partes: uma que é paralela a
(chamada de
) e outra que é perpendicular a
(chamada de
).
Isso está relacionado com o conteúdo de projeção de vetores na matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre o outro, que envolve o produto escalar (ou dot product) e a norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o quadrado da norma de
. A norma de um vetor
é:
Então, o quadrado da norma de
é:
Passo 4
Com esses valores, podemos usar a fórmula da projeção ortogonal de
sobre
:
Substituindo os valores que calculamos:
Então,
.
Passo 5
Agora, para encontrar
, que é a parte de
perpendicular a
, simplesmente subtraímos
de
:
Calculando cada componente:
Então,
.
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é
e a decomposição de
é dada por:
Exercícios relacionados
Dado o ponto
e a reta
.
(a) Determine a equação do plano que passa por
e é perpendicular à reta
;
(a) Determine a equação do plano
Sejam A=(0,1,5), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(a) Sabendo que M é ponto médio de \overline{A B}, determine B;
(a) Sabendo que M é ponto médio de \overline{A B}, determine B;
Dados os vetores
e
,
(b) determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a .
(b) determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a
Dados os pontos
e
:
(b) determinar o ponto pertencente ao segmento
tal que
.
(b) determinar o ponto