Dados os vetores u=(-2,2,-1) e v=(1,-3,4), encontrar a projeção ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de v1 com v2, sendo v1 | u e v2 perp u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores: u=(-2,2,-1) e v=(1,-3,4). A pergunta é para encontrar a projeção ortogonal de v sobre u e depois decompor v em duas partes: uma que é paralela a u (chamada de v1) e outra que é perpendicular a u (chamada de v2).
Isso está relacionado com o conteúdo de projeção de vetores na matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre o outro, que envolve o produto escalar (ou dot product) e a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar de dois vetores a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = (-2)(1) + (2)(-3) + (-1)(4) = -2 -6 -4 = -12

Passo 3

Agora, precisamos calcular o quadrado da norma de u. A norma de um vetor a=(a1,a2,a3) é:
||a|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Então, o quadrado da norma de u é:
||u||^2 = (-2)^2 + 2^2 + (-1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9

Passo 4

Com esses valores, podemos usar a fórmula da projeção ortogonal de v sobre u:
Proju v = ( u cdot v||u||^2 ) u
Substituindo os valores que calculamos:
Proju v = ( -129 ) u = -43 u = -43 (-2,2,-1) = ( 83, -83, 43 )
Então, v1 = ( 83, -83, 43 ).

Passo 5

Agora, para encontrar v2, que é a parte de v perpendicular a u, simplesmente subtraímos v1 de v:
v2 = v - v1 = (1,-3,4) - ( 83, -83, 43 ) = ( 1 - 83, -3 + 83, 4 - 43 )
Calculando cada componente:
1 - 83 = -53, -3 + 83 = -13, 4 - 43 = 83
Então, v2 = ( -53, -13, 83 ).

Resposta

A projeção ortogonal de v sobre u é v1 = ( dfrac83, -dfrac83, dfrac43 ) e a decomposição de v é dada por:
v = v1 + v2 = ( dfrac83, -dfrac83, dfrac43 ) + ( -dfrac53, -dfrac13, dfrac83 )

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Dados os vetores u=(3,1,2) e v=(6,2,3),
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(b) determinar o ponto N pertencente ao segmento B C tal que B N=23 B C.