Dados os vetores u=(3,1,2) e v=(6,2,3),
(b) determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, u = (3,1,2) e v = (6,2,3). A questão quer que a gente encontre um vetor unitário que seja ortogonal a ambos, ou seja, perpendicular a u e v. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial para encontrar um vetor perpendicular aos dois e depois normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1 (vetor unitário).

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial entre u e v. O produto vetorial entre dois vetores em três dimensões resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A fórmula do produto vetorial é:
u times v = ( uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx )
Onde u = (ux, uy, uz) e v = (vx, vy, vz).
Substituindo os valores:
u times v = (1 cdot 3 - 2 cdot 2, 2 cdot 6 - 3 cdot 3, 3 cdot 2 - 1 cdot 6) = (3 - 4, 12 - 9, 6 - 6) = (-1, 3, 0)
Então, o vetor perpendicular é w = (-1, 3, 0).

Passo 3

Agora, precisamos transformar esse vetor w em um vetor unitário. Para isso, vamos calcular o módulo (ou comprimento) de w. A fórmula para o módulo é:
|w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2
Substituindo os valores:
|w| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 0^2 = raiz1 + 9 + 0 = raiz10

Passo 4

Com o módulo calculado, podemos agora encontrar o vetor unitário dividindo cada componente de w pelo seu módulo:
uunit = ( -1raiz10, 3raiz10, 0raiz10 ) = ( -1raiz10, 3raiz10, 0 )

Resposta

Um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v é ( dfrac-1raiz10, dfrac3raiz10, 0 ).

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