Dado o ponto polar (-6, 2*pi/3), localize no plano e escreva em coordenada cartesiana. (Atenção).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente transformar um ponto dado em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. A gente vai usar as fórmulas de conversão entre esses dois sistemas de coordenadas para fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a conversão de coordenadas polares para cartesianas. As coordenadas polares são dadas por (r, θ), onde ‘r’ é a distância do ponto até a origem e ‘θ’ é o ângulo em relação ao eixo positivo do x. Para converter para coordenadas cartesianas (x, y), usamos as seguintes fórmulas:
Essas fórmulas nos permitem encontrar as posições no plano cartesiano a partir das coordenadas polares.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao ponto dado: . Aqui, ‘r’ é -6 e ‘θ’ é . Um detalhe importante é que, quando o raio ‘r’ é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo dado. Então, na prática, vamos tratar o raio como positivo e adicionar ao ângulo para encontrar a posição correta.

Passo 4

Vamos calcular as coordenadas cartesianas:
Primeiro, ajustamos o ângulo devido ao raio negativo:
Agora, usamos as fórmulas de conversão:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são .

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