Mostre que: exp(-n z) = 1/(exp(z)^n), n = 1, 2, ....

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função exponencial com expoente negativo é igual a 1 dividido pela exponencial de z elevada à potência n, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar as propriedades das potências e da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma das propriedades das funções exponenciais é:
Especificamente, quando temos uma potência no expoente, podemos reescrever como . Isso significa que elevar a exponencial a uma potência é o mesmo que elevar a base da exponencial àquela potência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade ao nosso problema. Queremos reescrever de uma forma que envolva . Sabemos que:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Utilizando a propriedade que mencionamos no Passo 2, substituímos por :

Resposta

Portanto, mostramos que para todo .

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