Mostre que:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que
. Isso envolve conceitos de números complexos e a famosa fórmula de Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta com números imaginários e aplicar a fórmula de Euler para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que é uma ferramenta poderosa na matemática para relacionar exponenciais e trigonometria. A fórmula diz que para qualquer ângulo
, temos:
Isso significa que podemos expressar a exponencial de um número imaginário em termos de funções cosseno e seno.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso específico, onde
. Substituindo na fórmula de Euler, temos:
Passo 4
Vamos calcular os valores de
e
:
- Sabemos que
porque o cosseno de 90 graus é zero. - E
porque o seno de 90 graus é um.
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que
.