Determine todos os números complexos z tais que: exp(z) = 1 + i * raiz(3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os números complexos tais que . Aqui, vamos usar conceitos de números complexos e exponenciais complexas. Para resolver isso, vamos precisar converter o número complexo para a forma polar e depois aplicar o logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o número complexo na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por , onde é o módulo e é o argumento.

Passo 3

Calculamos o módulo de :
Então, .

Passo 4

Agora, encontramos o argumento . Sabemos que:
O ângulo que satisfaz essas condições é .

Passo 5

Portanto, podemos escrever na forma polar:

Passo 6

Sabemos que . Comparando isso com a forma polar que encontramos, temos:
Aqui, representa todas as possíveis voltas completas no círculo trigonométrico.

Passo 7

Resolvendo para , obtemos:
E para :

Resposta

Todos os números complexos que satisfazem são dados por:

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