Determine todos os números complexos
tais que:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os números complexos
tais que
. Aqui, vamos usar conceitos de números complexos e exponenciais complexas. Para resolver isso, vamos precisar converter o número complexo
para a forma polar e depois aplicar o logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o número complexo
na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Passo 3
Calculamos o módulo
de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, encontramos o argumento
. Sabemos que:
O ângulo que satisfaz essas condições é
.
Passo 5
Portanto, podemos escrever
na forma polar:
Passo 6
Sabemos que
. Comparando isso com a forma polar que encontramos, temos:
Aqui,
representa todas as possíveis voltas completas no círculo trigonométrico.
Passo 7
Resolvendo para
, obtemos:
E para
:
Resposta
Todos os números complexos
que satisfazem
são dados por: