Dado o ponto e as retas e , encontre.
O ângulo entre as retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre as retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e o cálculo do ângulo entre eles usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as direções das retas e . As retas são definidas por equações paramétricas, então precisamos encontrar os vetores diretores delas.
Para a reta , percebemos que e são constantes, o que significa que essa reta é paralela ao eixo . Portanto, o vetor diretor de é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta ly=x-3 z=-2x+3. Podemos parametrizar essa reta para encontrar seu vetor diretor.
Vamos deixar y = t - 3 z = -2t + 3 , então:
v = 1 1 -2
O vetor diretor de é, portanto:
Passo 4
Com os vetores diretores cos theta = u cdot v||u|| cdot ||v|| e u cdot v = (0)(1) + (0)(1) + (1)(-2) = -2 ||u|| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 ||v|| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 encontrados, podemos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre as retas:
Onde:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
cos theta = -21 cdot raiz6 = -2raiz6 approx -0,8165
Para encontrar o ângulo theta = arccos(-0,8165) approx 144^circ , usamos a função arco cosseno: