Dado o ponto A(3,2,-1) e as retas r1:lx=3 y=-1 e r2:ly=x-3 z=-2 x+3, encontre.
O ângulo entre as retas r1 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre as retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e o cálculo do ângulo entre eles usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das retas lx=3 y=-1 e u = 0 0 1 . As retas são definidas por equações paramétricas, então precisamos encontrar os vetores diretores delas.
Para a reta , percebemos que e são constantes, o que significa que essa reta é paralela ao eixo . Portanto, o vetor diretor de é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta ly=x-3 z=-2x+3. Podemos parametrizar essa reta para encontrar seu vetor diretor.
Vamos deixar y = t - 3 z = -2t + 3 , então:
v = 1 1 -2
O vetor diretor de é, portanto:

Passo 4

Com os vetores diretores cos theta = u cdot v||u|| cdot ||v|| e u cdot v = (0)(1) + (0)(1) + (1)(-2) = -2 ||u|| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 ||v|| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 encontrados, podemos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre as retas:
Onde:

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
cos theta = -21 cdot raiz6 = -2raiz6 approx -0,8165
Para encontrar o ângulo theta = arccos(-0,8165) approx 144^circ , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de aproximadamente .

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