Determine o triângulo equilátero de vértices A, B e C tal que A=(1,1,0) e o lado B C está contido na reta (x, y, z)=(0, t,-t).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos que determinar um triângulo equilátero com vértices e onde o ponto está nas coordenadas e o lado está contido na reta dada por .
Conteúdo da matéria: Geometria no espaço tridimensional, especificamente determinação de pontos e distâncias entre eles.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecimento de coordenadas no espaço tridimensional.
  • Fórmulas de distância entre pontos no espaço.
  • Características de um triângulo equilátero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta onde o lado está contido. A reta é dada por , o que significa que qualquer ponto ou nessa reta pode ser representado como e , onde e são parâmetros que determinam a posição dos pontos na reta.

Passo 3

Agora, vamos calcular as distâncias entre os pontos para garantir que o triângulo seja equilátero, ou seja, que todos os lados tenham o mesmo comprimento.
  1. Dist��ncia entre dBC = raiz(0-0)^2 + (t1 - t2)^2 + (-t1 - (-t2))^2 = raiz0 + (t1 - t2)^2 + (t2 - t1)^2 = raiz2(t1 - t2)^2 = raiz2 |t1 - t2| e dAB = raiz(1-0)^2 + (1 - t1)^2 + (0 - (-t1))^2 = raiz1 + (1 - t1)^2 + t1^2 = raiz1 + 1 - 2t1 + t1^2 + t1^2 = raiz2 - 2t1 + 2t1^2 ( dAC = raiz(1-0)^2 + (1 - t2)^2 + (0 - (-t2))^2 = raiz1 + (1 - t2)^2 + t2^2 = raiz2 - 2t2 + 2t2^2 ):
  2. Distância entre e ( ):
  3. Distância entre e ( ):

Passo 4

Como o triângulo é equilátero, todas as distâncias devem ser iguais:
dAB = dAC = dBC
Vamos igualar raiz2 - 2t1 + 2t1^2 = raiz2 |t1 - t2| e 2 - 2t1 + 2t1^2 = 2(t1 - t2)^2 :
2 - 2t1 + 2t1^2 = 2(t1^2 - 2t1 t2 + t2^2)
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
1 - t1 + t1^2 = t1^2 - 2t1 t2 + t2^2
Simplificando:
1 - t1 = -2t1 t2 + t2^2
Dividindo ambos os lados por 2:
t2^2 - 2t1 t2 + t1 - 1 = 0
Cancelando em ambos os lados:
Rearranjando:

Passo 5

Temos uma equação quadrática em t2 = 2t1 pm raiz(2t1)^2 - 4 cdot 1 cdot (t1 - 1)2 . Vamos resolver para t2 = 2t1 pm raiz4t1^2 - 4t1 + 42 = t1 pm raizt1^2 - t1 + 1 usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:

Passo 6

Para que as distâncias sejam iguais, precisamos encontrar valores de 1 - t1 = -2t1 (-t1) + (-t1)^2 Rightarrow 1 - t1 = 2t1^2 + t1^2 = 3t1^2 que satisfaçam a equação. Observando a simetria, podemos considerar que 3t1^2 + t1 - 1 = 0 e t1 = -1 pm raiz1 + 126 = -1 pm raiz136 são simétricos em relação a algum ponto. Para simplificar, vamos assumir que .
Substituindo na equação:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 7

Agora, temos dois valores para t1 = -1 + raiz136 e t1 = -1 - raiz136 :
t2 = --1 + raiz136 = 1 - raiz136 e t2 = --1 - raiz136 = 1 + raiz136
Correspondente a :

Resposta

Os vértices B = (0, -1 + raiz136, 1 - raiz136) e C = (0, -1 - raiz136, 1 + raiz136) do triângulo equilátero são:

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