Determine o triângulo equilátero de vértices e tal que e o lado está contido na reta (x, y, z)=(0, t,-t).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos que determinar um triângulo equilátero com vértices e onde o ponto está nas coordenadas e o lado está contido na reta dada por .
Conteúdo da matéria: Geometria no espaço tridimensional, especificamente determinação de pontos e distâncias entre eles.
O que vamos precisar para resolver:
Conhecimento de coordenadas no espaço tridimensional.
Fórmulas de distância entre pontos no espaço.
Características de um triângulo equilátero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta onde o lado está contido. A reta é dada por , o que significa que qualquer ponto ou nessa reta pode ser representado como e , onde e são parâmetros que determinam a posição dos pontos na reta.
Passo 3
Agora, vamos calcular as distâncias entre os pontos para garantir que o triângulo seja equilátero, ou seja, que todos os lados tenham o mesmo comprimento.
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
1 - t1 + t1^2 = t1^2 - 2t1 t2 + t2^2
Simplificando:
1 - t1 = -2t1 t2 + t2^2
Dividindo ambos os lados por 2:
t2^2 - 2t1 t2 + t1 - 1 = 0
Cancelando em ambos os lados:
Rearranjando:
Passo 5
Temos uma equação quadrática em t2 = 2t1 pm raiz(2t1)^2 - 4 cdot 1 cdot (t1 - 1)2 . Vamos resolver para t2 = 2t1 pm raiz4t1^2 - 4t1 + 42 = t1 pm raizt1^2 - t1 + 1 usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Passo 6
Para que as distâncias sejam iguais, precisamos encontrar valores de 1 - t1 = -2t1 (-t1) + (-t1)^2 Rightarrow 1 - t1 = 2t1^2 + t1^2 = 3t1^2 que satisfaçam a equação. Observando a simetria, podemos considerar que 3t1^2 + t1 - 1 = 0 e t1 = -1 pm raiz1 + 126 = -1 pm raiz136 são simétricos em relação a algum ponto. Para simplificar, vamos assumir que .
Substituindo na equação:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 7
Agora, temos dois valores para t1 = -1 + raiz136 e t1 = -1 - raiz136 :