Dado o ponto e sabendo que , o ponto médio do segmento AC é igual a (3925, 541100, 7320), calcule:
a) Calcule os vértices B, C e D do paralelogramo A B C D
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem o ponto e o vetor . Além disso, o ponto médio do segmento é . Nosso objetivo é encontrar os vértices , e do paralelogramo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de pontos a partir de vetores e ponto médio. Vamos precisar entender como somar vetores e calcular pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto B = (-3, 2, 4) + (5, 0, 0) = (-3 + 5, 2 + 0, 4 + 0) = (2, 2, 4) . Sabemos que . Isso significa que para chegar de até , a gente adiciona esse vetor às coordenadas de .
Então, .
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) usando o ponto médio do segmento -3 + x2 = 3925 2 + y2 = 541100 4 + z2 = 7320 . O ponto médio -3 + x2 = 3925 -3 + x = 7825 x = 7825 + 3 x = 7825 + 7525 x = 15325 de dois pontos 2 + y2 = 541100 2 + y = 1082100 y = 1082100 - 2 y = 1082100 - 200100 y = 882100 = 44150 e 4 + z2 = 7320 4 + z = 14620 z = 14620 - 4 z = 14620 - 8020 z = 6620 = 3310 é dado por:
Sabemos que e . Vamos chamar as coordenadas de de .
Igualando as coordenadas do ponto médio:
Vamos resolver cada equação para encontrar , e .
Para :
Para :
Para :
Então, .
Passo 4
Por fim, vamos encontrar o ponto BC = C - B = ( 15325 - 2, 44150 - 2, 3310 - 4 ) = ( 15325 - 5025, 44150 - 10050, 3310 - 4010 ) = ( 10325, 34150, -710 ) do paralelogramo D = A + AD = A + BC = (-3, 2, 4) + ( 10325, 34150, -710 ) = ( -3 + 10325, 2 + 34150, 4 + -710 ) = ( -7525 + 10325, 10050 + 34150, 4010 - 710 ) = ( 2825, 44150, 3310 ) . Em um paralelogramo, os vetores opostos são iguais, ou seja, .
Primeiro, vamos encontrar o vetor . Sabemos que e .
Calculando :
Agora, usamos . Sabemos que , então:
Então, .
Resposta
Os vértices do paralelogramo B = (2, 2, 4) C = ( 15325, 44150, 3310 ) D = ( 2825, 44150, 3310 ) são: