Dadus us vetores u=(3,-1) e v=(-1,2), determinar o vetor w tal que
b) 3 w-(2 v-u)=2(4 w-3 u)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores dados, u = (3, -1) e v = (-1, 2). A tarefa é encontrar o vetor w que satisfaz a equação:
3 w - (2 v - u) = 2(4 w - 3 u)
Para resolver essa equação, vamos usar operações básicas com vetores e álgebra para isolar w.

Passo 2

Vamos simplificar ambos os lados da equação passo a passo. Primeiro, calculamos a expressão dentro dos parênteses.
Calculemos 2v:
2v = 2(-1, 2) = (-2, 4)
Agora, subtraímos u de 2v:
2v - u = (-2, 4) - (3, -1) = (-2 - 3, 4 - (-1)) = (-5, 5)
Então, a equação fica:
3 w - (-5, 5) = 2(4 w - 3 u)

Passo 3

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
3 w - (-5, 5) = 3 w + (5, -5) = (3w1 + 5, 3w2 - 5)
Onde w = (w1, w2).

Passo 4

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação:
Primeiro, calculamos 4 w e 3 u:
4 w = 4(w1, w2) = (4w1, 4w2)
3 u = 3(3, -1) = (9, -3)
Subtraindo 3 u de 4 w:
4 w - 3 u = (4w1 - 9, 4w2 - (-3)) = (4w1 - 9, 4w2 + 3)
Multiplicando por 2:
2(4 w - 3 u) = 2(4w1 - 9, 4w2 + 3) = (8w1 - 18, 8w2 + 6)

Passo 5

Agora, temos a equação simplificada:
(3w1 + 5, 3w2 - 5) = (8w1 - 18, 8w2 + 6)
Isso significa que os componentes correspondentes dos vetores devem ser iguais:
  1. Para a primeira componente:
    3w1 + 5 = 8w1 - 18
  2. Para a segunda componente:
    3w2 - 5 = 8w2 + 6

Passo 6

Vamos resolver cada equação para encontrar w1 e w2.
Para w1:
3w1 + 5 = 8w1 - 18
Subtraindo 3w1 de ambos os lados:
5 = 5w1 - 18
Adicionando 18 a ambos os lados:
23 = 5w1
Dividindo por 5:
w1 = 235 = 4,6
Para w2:
3w2 - 5 = 8w2 + 6
Subtraindo 3w2 de ambos os lados:
-5 = 5w2 + 6
Subtraindo 6 de ambos os lados:
-11 = 5w2
Dividindo por 5:
w2 = -115 = -2,2

Resposta

O vetor w que satisfaz a equação dada é:
w = ( 235, -115 ) ou w = (4,6, -2,2)

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