Dado o ponto e sabendo que , o ponto médio do segmento AC é igual a , calcule:
b) Calcule o perímetro do paralelogramo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o ponto e o vetor . Além disso, o ponto médio do segmento é . O que precisamos fazer é calcular o perímetro do paralelogramo . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como pontos médios, vetores e cálculo de distâncias entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto . Sabemos que , o que significa que para chegar de a , a gente adiciona 5 na coordenada e não altera as coordenadas e . Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto . Sabemos que o ponto médio de é . A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:
Vamos igualar as coordenadas de para encontrar :
Resolvendo cada equação:
Para :
Para :
Para :
Então, .

Passo 4

Com os pontos , e encontrados, vamos determinar as coordenadas do ponto do paralelogramo . Num paralelogramo, os vetores opostos são iguais, então .
Primeiro, encontramos :
Agora, aplicamos para encontrar :
Portanto, .

Passo 5

Agora que temos todos os quatro pontos do paralelogramo , vamos calcular o perímetro. O perímetro de um paralelogramo é a soma de todos os seus lados, que são iguais em pares. Então, precisamos calcular as distâncias entre e , e entre e , e multiplicar por 2.
A fórmula para a distância entre dois pontos e no espaço é:
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então:

Resposta

O perímetro do paralelogramo é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições. Justifique sua resposta!
Seja uma matriz quadrada de ordem . Se é inversível então é um autovalor de A.
Encontre os vértices do paralelogramo ABCD , sabendo que e .
Encontrar a equação do plano que contém o ponto e é perpendicular aos planos
Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
b) e uma base para W.