Dado o ponto e sabendo que , o ponto médio do segmento AC é igual a (3925, 541100, 7320), calcule:
b) Calcule o perímetro do paralelogramo A B C D.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o ponto e o vetor . Além disso, o ponto médio do segmento é . O que precisamos fazer é calcular o perímetro do paralelogramo . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como pontos médios, vetores e cálculo de distâncias entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto B = A + AB = (-3 + 5, 2 + 0, 4 + 0) = (2, 2, 4) . Sabemos que , o que significa que para chegar de a , a gente adiciona 5 na coordenada e não altera as coordenadas e . Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) . Sabemos que o ponto médio de -3 + xC2 = 3925 2 + yC2 = 541100 4 + zC2 = 7320 é -3 + xC = 2 times 3925 = 7825 xC = 7825 + 3 = 7825 + 7525 = 15325 . A fórmula do ponto médio entre dois pontos 2 + yC = 2 times 541100 = 1082100 = 54150 yC = 54150 - 2 = 54150 - 10050 = 44150 e 4 + zC = 2 times 7320 = 14620 = 7310 zC = 7310 - 4 = 7310 - 4010 = 3310 é:
Vamos igualar as coordenadas de para encontrar :
Resolvendo cada equação:
Para :
Para :
Para :
Então, .
Passo 4
Com os pontos BC = C - B = ( 15325 - 2, 44150 - 2, 3310 - 4 ) = ( 15325 - 5025, 44150 - 10050, 3310 - 4010 ) = ( 10325, 34150, -710 ) , D = A + BC = ( -3 + 10325, 2 + 34150, 4 + -710 ) = ( -7525 + 10325, 10050 + 34150, 4010 - 710 ) = ( 2825, 44150, 3310 ) e encontrados, vamos determinar as coordenadas do ponto do paralelogramo . Num paralelogramo, os vetores opostos são iguais, então .
Primeiro, encontramos :
Agora, aplicamos para encontrar :
Portanto, .
Passo 5
Agora que temos todos os quatro pontos do paralelogramo d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 , vamos calcular o perímetro. O perímetro de um paralelogramo é a soma de todos os seus lados, que são iguais em pares. Então, precisamos calcular as distâncias entre AB = raiz(2 - (-3))^2 + (2 - 2)^2 + (4 - 4)^2 = raiz5^2 + 0^2 + 0^2 = raiz25 = 5 e BC = raiz( 15325 - 2 )^2 + ( 44150 - 2 )^2 + ( 3310 - 4 )^2 = raiz( 10325 )^2 + ( 34150 )^2 + ( -710 )^2 , e entre ( 10325 )^2 = 10609625 ( 34150 )^2 = 1162812500 ( -710 )^2 = 49100 e BC^2 = 10609625 + 1162812500 + 49100 = 10609 times 42500 + 1162812500 + 49 times 252500 = 42436 + 116281 + 12252500 = 1609422500 , e multiplicar por 2.
A fórmula para a distância entre dois pontos BC = raiz 1609422500 = raiz16094250 approx 401.1850 approx 8.02 e no espaço é:
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então:
Resposta
O perímetro do paralelogramo é aproximadamente unidades.