Exercício 1.1. Para o conjunto de matrizes , determine: a) O elemento neutro para a operação de adição de matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre matrizes de tamanho e precisa descobrir qual é o elemento neutro para a operação de adição dessas matrizes. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, onde a gente estuda as operações com matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um elemento neutro na adição de matrizes e como ele funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa elemento neutro. Em matemática, o elemento neutro para uma operação é aquele que, quando combinado com qualquer outro elemento da operação, não altera esse elemento. Para a adição, o elemento neutro é o número zero, porque qualquer número somado a zero continua o mesmo.
Passo 3
Agora, aplicando isso às matrizes, o elemento neutro para a adição de matrizes deve ser uma matriz que, quando somada a qualquer outra matriz , resulta na própria matriz . Ou seja, precisamos encontrar uma matriz tal que:
Passo 4
Vamos considerar uma matriz genérica de tamanho :
Queremos encontrar tal que:
$$
+
$$
Passo 5
Somando as matrizes, temos:
$$
$$
Para que as matrizes sejam iguais, cada elemento correspondente deve ser igual. Portanto:
⟹
⟹
⟹
⟹
Passo 6
Então, a matriz que satisfaz essas condições é a matriz nula, ou seja, a matriz com todos os elementos iguais a zero:
Resposta
O elemento neutro para a operação de adição de matrizes em é a matriz nula: