Exercício 1.1. Para o conjunto de matrizes M2 times 2, determine: a) O elemento neutro para a operação de adição de matrizes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre matrizes de tamanho 2 times 2 e precisa descobrir qual é o elemento neutro para a operação de adição dessas matrizes. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, onde a gente estuda as operações com matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um elemento neutro na adição de matrizes e como ele funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa elemento neutro. Em matemática, o elemento neutro para uma operação é aquele que, quando combinado com qualquer outro elemento da operação, não altera esse elemento. Para a adição, o elemento neutro é o número zero, porque qualquer número somado a zero continua o mesmo.

Passo 3

Agora, aplicando isso às matrizes, o elemento neutro para a adição de matrizes deve ser uma matriz que, quando somada a qualquer outra matriz A, resulta na própria matriz A. Ou seja, precisamos encontrar uma matriz E tal que:
A + E = A

Passo 4

Vamos considerar uma matriz genérica A de tamanho 2 times 2:
A = a & b c & d
Queremos encontrar E tal que:

$$
a & b c & d + e11 & e12 e21 & e22 = a & b c & d
+

$$

Passo 5

Somando as matrizes, temos:

$$
a + e11 & b + e12 c + e21 & d + e22 = a & b c & d

a + e11 = a
$$
Para que as matrizes sejam iguais, cada elemento correspondente deve ser igual. Portanto:
  • e11 = 0 b + e12 = b
  • e12 = 0 c + e21 = c
  • e21 = 0 d + e22 = d
  • e22 = 0

Passo 6

Então, a matriz E que satisfaz essas condições é a matriz nula, ou seja, a matriz com todos os elementos iguais a zero:
E = 0 & 0 0 & 0

Resposta

O elemento neutro para a operação de adição de matrizes em M2 times 2 é a matriz nula:
E = 0 & 0 0 & 0

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