Dado uma população inicial P0=1000, com uma taxa de crescimento de r=0.05 ( 5 % ao ano), crie um modelo exponencial do crescimento da população, P(t), e calcule quanto será a quantidade de pessoas após 10 anos. Dica (A exponencial tem a forma e^r t com

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde começamos com uma população inicial de P0 = 1000 pessoas. A taxa de crescimento é de r = 0.05 (ou seja, 5% ao ano). O que precisamos fazer é criar um modelo exponencial para esse crescimento e descobrir quantas pessoas teremos depois de 10 anos. Vamos usar matemática exponencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um modelo de crescimento exponencial. Esse tipo de modelo mostra como uma quantidade cresce ou diminui a uma taxa que é proporcional ao seu tamanho atual. No caso, a população está crescendo a uma taxa de 5% ao ano.

Passo 3

A fórmula geral para o crescimento exponencial é:
P(t) = P0 times e^r t
Aqui, P(t) é a população no tempo t, P0 é a população inicial, r é a taxa de crescimento e e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2.71828).

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que P0 = 1000, r = 0.05 e queremos encontrar a população após t = 10 anos.
P(10) = 1000 times e^0.05 times 10

Passo 5

Agora, vamos calcular o expoente:
0.05 times 10 = 0.5
Então, a fórmula fica:
P(10) = 1000 times e^0.5

Passo 6

Calculando e^0.5, que é aproximadamente 1.64872:
P(10) = 1000 times 1.64872 = 1648.72

Resposta

Após 10 anos, a população será de aproximadamente 1649 pessoas.

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