Dado uma população inicial
, com uma taxa de crescimento de
(
ao ano), crie um modelo exponencial do crescimento da população,
, e calcule quanto será a quantidade de pessoas após 10 anos. Dica (A exponencial tem a forma
com
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde começamos com uma população inicial de
pessoas. A taxa de crescimento é de
(ou seja, 5% ao ano). O que precisamos fazer é criar um modelo exponencial para esse crescimento e descobrir quantas pessoas teremos depois de 10 anos. Vamos usar matemática exponencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um modelo de crescimento exponencial. Esse tipo de modelo mostra como uma quantidade cresce ou diminui a uma taxa que é proporcional ao seu tamanho atual. No caso, a população está crescendo a uma taxa de 5% ao ano.
Passo 3
A fórmula geral para o crescimento exponencial é:
Aqui,
é a população no tempo
,
é a população inicial,
é a taxa de crescimento e
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2.71828).
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que
,
e queremos encontrar a população após
anos.
Passo 5
Agora, vamos calcular o expoente:
Então, a fórmula fica:
Passo 6
Calculando
, que é aproximadamente 1.64872:
Resposta
Após 10 anos, a população será de aproximadamente 1649 pessoas.
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Desenvolva a fórmula matemática geral da linearização de sistemas, usando séries de Taylor, e aplique a transformada de Laplace na fórmula obtida.
Uma partícula de carga
está sobre o eixo y na posição
, uma segunda partícula de carga 4
está sobre o eixo x na posição
, uma terceira partícula de carga
está no ponto (
). Calcule a força eletrostática exercida sobre uma partícula de carga
que está na origem do sistema cartesiano.
Obtenha a transformada inversa de Laplace da função
Demonstre a equação diferencial ordinária do pêndulo, para uma entrada u(t), e indique quais leis físicas foram usadas para obter essa equação. Identifique se o modelo obtido é linear ou não linear, e caso seja não linear, linearize em um ponto de equilíbrio.