Dado uma população inicial
, com uma taxa de crescimento de
(
ao ano), crie um modelo exponencial do crescimento da população,
, e calcule quanto será a quantidade de pessoas após 10 anos. Dica (A exponencial tem a forma
com
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde começamos com uma população inicial de
pessoas. A taxa de crescimento é de
(ou seja, 5% ao ano). O que precisamos fazer é criar um modelo exponencial para esse crescimento e descobrir quantas pessoas teremos depois de 10 anos. Vamos usar matemática exponencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um modelo de crescimento exponencial. Esse tipo de modelo mostra como uma quantidade cresce ou diminui a uma taxa que é proporcional ao seu tamanho atual. No caso, a população está crescendo a uma taxa de 5% ao ano.
Passo 3
A fórmula geral para o crescimento exponencial é:
Aqui,
é a população no tempo
,
é a população inicial,
é a taxa de crescimento e
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2.71828).
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que
,
e queremos encontrar a população após
anos.
Passo 5
Agora, vamos calcular o expoente:
Então, a fórmula fica:
Passo 6
Calculando
, que é aproximadamente 1.64872:
Resposta
Após 10 anos, a população será de aproximadamente 1649 pessoas.