Dado uma população inicial , com uma taxa de crescimento de ( ao ano), crie um modelo exponencial do crescimento da população, , e calcule quanto será a quantidade de pessoas após 10 anos. Dica (A exponencial tem a forma com

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde começamos com uma população inicial de pessoas. A taxa de crescimento é de (ou seja, 5% ao ano). O que precisamos fazer é criar um modelo exponencial para esse crescimento e descobrir quantas pessoas teremos depois de 10 anos. Vamos usar matemática exponencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um modelo de crescimento exponencial. Esse tipo de modelo mostra como uma quantidade cresce ou diminui a uma taxa que é proporcional ao seu tamanho atual. No caso, a população está crescendo a uma taxa de 5% ao ano.

Passo 3

A fórmula geral para o crescimento exponencial é:
Aqui, é a população no tempo , é a população inicial, é a taxa de crescimento e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2.71828).

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que , e queremos encontrar a população após anos.

Passo 5

Agora, vamos calcular o expoente:
Então, a fórmula fica:

Passo 6

Calculando , que é aproximadamente 1.64872:

Resposta

Após 10 anos, a população será de aproximadamente 1649 pessoas.

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