Obtenha a transformada inversa de Laplace da função G(s)=5s-4+ss^2+4+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a transformada inversa de Laplace da função . A matéria que estamos usando aqui é Transformada de Laplace, e vamos precisar conhecer as transformadas inversas básicas para funções racionais e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função G(s) = 5s-4 + ss^2+4 + 5 em três partes para facilitar a transformação inversa:
Cada uma dessas partes vai ter sua própria transformada inversa.

Passo 3

Vamos com a primeira parte: L^-1 5s-4 = 5e^4t .
Sabemos que a transformada de Laplace de é . Comparando com , vemos que e temos um multiplicador de 5. Então, a transformada inversa é:

Passo 4

Agora, a segunda parte: L^-1 ss^2+4 = cos(2t) .
Sabemos que a transformada de Laplace de é . Aqui, , então . Logo, a transformada inversa é:

Passo 5

Por fim, temos a terceira parte: L^-1 5 = 5de.
A transformada de Laplace de uma constante normalmente é . Mas aqui temos apenas o número 5 sem o denominador . Isso implica que estamos lidando com uma transformação relacionada ao impulso de Dirac, representado por . Assim:
Onde é o impulso de Dirac, que é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em , onde é infinita de forma que sua integral seja 1.

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função g(t) = 5e^4t + cos(2t) + 5de é:

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