Obtenha a transformada inversa de Laplace da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. A matéria que estamos usando aqui é Transformada de Laplace, e vamos precisar conhecer as transformadas inversas básicas para funções racionais e constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em três partes para facilitar a transformação inversa:
Cada uma dessas partes vai ter sua própria transformada inversa.
Passo 3
Vamos com a primeira parte:
.
Sabemos que a transformada de Laplace de
é
. Comparando com
, vemos que
e temos um multiplicador de 5. Então, a transformada inversa é:
Passo 4
Agora, a segunda parte:
.
Sabemos que a transformada de Laplace de
é
. Aqui,
, então
. Logo, a transformada inversa é:
Passo 5
Por fim, temos a terceira parte:
.
A transformada de Laplace de uma constante
normalmente é
. Mas aqui temos apenas o número 5 sem o denominador
. Isso implica que estamos lidando com uma transformação relacionada ao impulso de Dirac, representado por
. Assim:
Onde
é o impulso de Dirac, que é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em
, onde é infinita de forma que sua integral seja 1.
Resposta
A transformada inversa de Laplace da função
é: