Obtenha a transformada inversa de Laplace da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. A matéria que estamos usando aqui é Transformada de Laplace, e vamos precisar conhecer as transformadas inversas básicas para funções racionais e constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em três partes para facilitar a transformação inversa:
Cada uma dessas partes vai ter sua própria transformada inversa.
Passo 3
Vamos com a primeira parte:
.
Sabemos que a transformada de Laplace de
é
. Comparando com
, vemos que
e temos um multiplicador de 5. Então, a transformada inversa é:
Passo 4
Agora, a segunda parte:
.
Sabemos que a transformada de Laplace de
é
. Aqui,
, então
. Logo, a transformada inversa é:
Passo 5
Por fim, temos a terceira parte:
.
A transformada de Laplace de uma constante
normalmente é
. Mas aqui temos apenas o número 5 sem o denominador
. Isso implica que estamos lidando com uma transformação relacionada ao impulso de Dirac, representado por
. Assim:
Onde
é o impulso de Dirac, que é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em
, onde é infinita de forma que sua integral seja 1.
Resposta
A transformada inversa de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Dado uma população inicial
, com uma taxa de crescimento de
(
ao ano), crie um modelo exponencial do crescimento da população,
, e calcule quanto será a quantidade de pessoas após 10 anos. Dica (A exponencial tem a forma
com
Desenvolva a fórmula matemática geral da linearização de sistemas, usando séries de Taylor, e aplique a transformada de Laplace na fórmula obtida.
Demonstre a equação diferencial ordinária do pêndulo, para uma entrada u(t), e indique quais leis físicas foram usadas para obter essa equação. Identifique se o modelo obtido é linear ou não linear, e caso seja não linear, linearize em um ponto de equilíbrio.
Linearize, se possível, a equação:
. Caso seja possível linearizar em torno de um ponto de equilíbrio, obter a função de transferência do modelo linearizado.