Demonstre a equação diferencial ordinária do pêndulo, para uma entrada u(t), e indique quais leis físicas foram usadas para obter essa equação. Identifique se o modelo obtido é linear ou não linear, e caso seja não linear, linearize em um ponto de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai derivar a equação diferencial ordinária (EDO) de um pêndulo com uma entrada . Isso envolve entender as leis físicas por trás do movimento do pêndulo e ver se a equação que a gente obtém é linear ou não. Se for não linear, a gente também vai linearizar ela em um ponto de equilíbrio. Pra resolver isso, vamos precisar de conceitos de física como torque, momento de inércia e as leis de Newton aplicadas a rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um pêndulo simples: uma massa presa no final de um fio de comprimento . O ângulo que o fio forma com a vertical é . A entrada pode ser entendida como um torque externo que está sendo aplicado ao pêndulo.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotações, que diz que o torque total tau = I cdot alpha é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular :
No nosso caso, a aceleração angular é a segunda derivada de , ou seja, .

Passo 4

O momento de inércia I = mL^2 de um pêndulo simples em relação ao ponto de fixação é:
taug = -mgL sin(theta)
Agora, vamos calcular os torques envolvidos. O torque devido à gravidade é:
O sinal negativo indica que o torque da gravidade age no sentido oposto ao aumento do ângulo.

Passo 5

Além disso, temos o torque externo tau = taug + u(t) = -mgL sin(theta) + u(t) que está sendo aplicado. Então, o torque total é a soma dos torques:

Passo 6

Substituindo -mgL sin(theta) + u(t) = mL^2 ddottheta e -gL sin(theta) + u(t)mL^2 = ddottheta na segunda lei de Newton para rotações:
ddottheta + gL sin(theta) = u(t)mL^2
Podemos simplificar dividindo tudo por :
Rearranjando, temos:

Passo 7

Pronto, essa é a equação diferencial ordinária do pêndulo com uma entrada . As leis físicas que usamos foram a segunda lei de Newton para rotações e a definição do momento de inércia.

Passo 8

Agora, vamos ver se essa equação é linear ou não. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e todas as suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem produtos ou funções não lineares.
No nosso caso, temos o termo , que não é linear em . Então, a equação é não linear.

Passo 9

Como a equação é não linear, a gente pode linearizá-la em um ponto de equilíbrio. O ponto de equilíbrio mais comum é quando o pêndulo está na posição vertical, ou seja, ddottheta + gL theta = u(t)mL^2 .
A gente usa a aproximação quando é pequeno. Assim, a equação fica:
Essa é a equação linearizada do pêndulo em torno de .

Resposta

A equação diferencial ordinária do pêndulo com entrada ddottheta + gL sin(theta) = u(t)mL^2 é:
ddottheta + gL theta = u(t)mL^2
Essa equação é não linear devido ao termo . Ao linearizar em torno do ponto de equilíbrio , obtemos:

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