Demonstre a equação diferencial ordinária do pêndulo, para uma entrada u(t), e indique quais leis físicas foram usadas para obter essa equação. Identifique se o modelo obtido é linear ou não linear, e caso seja não linear, linearize em um ponto de equilíbrio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai derivar a equação diferencial ordinária (EDO) de um pêndulo com uma entrada
. Isso envolve entender as leis físicas por trás do movimento do pêndulo e ver se a equação que a gente obtém é linear ou não. Se for não linear, a gente também vai linearizar ela em um ponto de equilíbrio. Pra resolver isso, vamos precisar de conceitos de física como torque, momento de inércia e as leis de Newton aplicadas a rotações.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um pêndulo simples: uma massa
presa no final de um fio de comprimento
. O ângulo que o fio forma com a vertical é
. A entrada
pode ser entendida como um torque externo que está sendo aplicado ao pêndulo.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotações, que diz que o torque total
é igual ao momento de inércia
vezes a aceleração angular
:
No nosso caso, a aceleração angular é a segunda derivada de
, ou seja,
.
Passo 4
O momento de inércia
de um pêndulo simples em relação ao ponto de fixação é:
Agora, vamos calcular os torques envolvidos. O torque devido à gravidade é:
O sinal negativo indica que o torque da gravidade age no sentido oposto ao aumento do ângulo.
Passo 5
Além disso, temos o torque externo
que está sendo aplicado. Então, o torque total
é a soma dos torques:
Passo 6
Substituindo
e
na segunda lei de Newton para rotações:
Podemos simplificar dividindo tudo por
:
Rearranjando, temos:
Passo 7
Pronto, essa é a equação diferencial ordinária do pêndulo com uma entrada
. As leis físicas que usamos foram a segunda lei de Newton para rotações e a definição do momento de inércia.
Passo 8
Agora, vamos ver se essa equação é linear ou não. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida e todas as suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem produtos ou funções não lineares.
No nosso caso, temos o termo
, que não é linear em
. Então, a equação é não linear.
Passo 9
Como a equação é não linear, a gente pode linearizá-la em um ponto de equilíbrio. O ponto de equilíbrio mais comum é quando o pêndulo está na posição vertical, ou seja,
.
A gente usa a aproximação
quando
é pequeno. Assim, a equação fica:
Essa é a equação linearizada do pêndulo em torno de
.
Resposta
A equação diferencial ordinária do pêndulo com entrada
é:
Essa equação é não linear devido ao termo
. Ao linearizar em torno do ponto de equilíbrio
, obtemos:
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