Dado um potencial escalar
, mostre que o campo de forças
é conservativo. Use como exemplo um potencial gravítico simples
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que um campo de forças definido como o negativo do gradiente de um potencial escalar é conservativo. Para isso, vamos usar como exemplo o potencial gravítico simples $ U(z) = mgz $. Vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como calcular o gradiente de um potencial e verificar as condições que tornam um campo conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo de forças é chamado de conservativo se o trabalho realizado pela força ao mover um objeto entre dois pontos é independente do caminho seguido. Isso também significa que existe um potencial escalar $ U $ tal que $ \mathbf{F} = -\nabla U $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente do potencial $ U(z) = mgz $. O gradiente é uma operação que nos dá um vetor com as derivadas parciais de $ U $ em relação a cada coordenada. No nosso caso, como $ U $ depende apenas de $ z $, temos:
Passo 4
Em seguida, aplicamos a definição do campo de forças dado pelo exercício: $ \mathbf{F} = -\nabla U $. Substituindo o gradiente que calculamos:
Passo 5
Para mostrar que $ \mathbf{F} $ é conservativo, podemos verificar se o rotacional de $ \mathbf{F} $ é zero. O rotacional de um campo $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $ é dado por:
Para o nosso campo $ \mathbf{F} = (0, 0, -mg) $:
Resposta
Como o rotacional de $ \mathbf{F} $ é zero, concluímos que o campo de forças $ \mathbf{F} = -\nabla U $ é conservativo. Usando o potencial gravítico $ U(z) = mgz $ como exemplo, mostramos que $ \mathbf{F} = (0, 0, -mg) $ é um campo conservativo.