Em um dado problema unidimensional, um próton se move livremente entre duas paredes rígidas e separadas por uma distância
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(a) Se o próton é representado por uma onda estacionária unidimensional, com um nó em cada parede, mostre que os valores permitidos para o comprimento de onda são dados por
, onde
é um número inteiro positivo.
(a) Se o próton é representado por uma onda estacionária unidimensional, com um nó em cada parede, mostre que os valores permitidos para o comprimento de onda são dados por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton se movendo livremente entre duas paredes rígidas, separadas por uma distância $ L $. A ideia é representá-lo por uma onda estacionária unidimensional com um nó em cada parede. O conteúdo que vamos usar envolve ondas estacionárias e condições de contorno. Precisamos entender como as ondas se comportam nesse sistema para achar os valores permitidos do comprimento de onda $ \lambda $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma onda estacionária. É uma combinação de ondas que se movem para frente e para trás, criando pontos fixos chamados nós, onde a amplitude é sempre zero. No nosso caso, as paredes rígidas impõem que a onda tenha nós nesses pontos.
Passo 3
Como temos um nó em cada parede, a distância entre as paredes $ L $ deve abranger um número inteiro de “meias ondas”. Cada meia onda tem um comprimento de onda $ \lambda/2 $. Então, se $ n $ é o número de meias ondas, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ \lambda $:
Resposta
Os valores permitidos para o comprimento de onda são $ \lambda = \frac{2L}{n} $, onde $ n $ é um número inteiro positivo.