Mostre que se
e
são espaços vetoriais de dimensão finita tais que
e se
então as seguintes condições são equivalentes:
©
é bijetora.
©
Passo 1
Neste exercício, temos que
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com dimensões iguais, ou seja,
. Queremos mostrar que, para uma transformação linear
, a condição ©
ser bijetora é equivalente a outras condições relacionadas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, injeção, sobrejeção e bijeção, além do teorema da dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação
é chamada de injetora se cada elemento de
é mapeado para um elemento distinto em
. Em outras palavras, se
então necessariamente
. Isso garante que não há “sobreposição” nos mapeamentos.
Passo 3
Em segundo lugar, uma transformação linear é chamada de sobrejetora se para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Ou seja, a transformação
“cobre” todo o espaço
, não deixando nenhum elemento de
sem ser atingido por
.
Passo 4
Agora, uma transformação linear
é chamada de bijetora se ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Isso significa que há uma correspondência um-para-um e sobre inteira entre os elementos de
e
. Em termos práticos, cada elemento de
é mapeado para um elemento único de
, e cada elemento de
é atingido por exatamente um elemento de
.
Passo 5
Vamos utilizar o teorema da dimensão, que afirma que se
e
são espaços vetoriais de dimensão finita com
, então uma transformação linear
é injetora se, e somente se, é sobrejetora. Ou seja, em espaços de mesma dimensão, injeção e sobrejeção são condições equivalentes para transformações lineares.
Passo 6
Dado que, nessas condições, ser injetora implica ser sobrejetora e vice-versa, concluímos que ser bijetora é equivalente a ser injetora ou sobrejetora. Portanto, a condição ©
ser bijetora não é apenas uma propriedade adicional, mas uma condição que encapsula ambas as características de injeção e sobrejeção.
Resposta
Assim, em espaços vetoriais de dimensão finita com
, para uma transformação linear
, a condição © de
ser bijetora é equivalente a outras condições como ser injetora ou sobrejetora.
Exercícios relacionados
Dado o PVI:
.
b) Calcule uma estimativa para 0 erro.
b) Calcule uma estimativa para 0 erro.
Dadas as matrizes
, calcule as matrizes,
Mostre que se
e
são espaços vetoriais de dimensão finita tais que
e se
então as seguintes condições são equivalentes:
(d) leva bases de
em bases de
.
(d)
Quais das transformações abaixo são lineares?
(q)
(q)