Mostre que se e são espaços vetoriais de dimensão finita tais que e se então as seguintes condições são equivalentes:
© é bijetora.

Passo 1

Neste exercício, temos que e são espaços vetoriais de dimensão finita com dimensões iguais, ou seja, . Queremos mostrar que, para uma transformação linear , a condição © ser bijetora é equivalente a outras condições relacionadas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, injeção, sobrejeção e bijeção, além do teorema da dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação é chamada de injetora se cada elemento de é mapeado para um elemento distinto em . Em outras palavras, se então necessariamente . Isso garante que não há “sobreposição” nos mapeamentos.

Passo 3

Em segundo lugar, uma transformação linear é chamada de sobrejetora se para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Ou seja, a transformação “cobre” todo o espaço , não deixando nenhum elemento de sem ser atingido por .

Passo 4

Agora, uma transformação linear é chamada de bijetora se ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Isso significa que há uma correspondência um-para-um e sobre inteira entre os elementos de e . Em termos práticos, cada elemento de é mapeado para um elemento único de , e cada elemento de é atingido por exatamente um elemento de .

Passo 5

Vamos utilizar o teorema da dimensão, que afirma que se e são espaços vetoriais de dimensão finita com , então uma transformação linear é injetora se, e somente se, é sobrejetora. Ou seja, em espaços de mesma dimensão, injeção e sobrejeção são condições equivalentes para transformações lineares.

Passo 6

Dado que, nessas condições, ser injetora implica ser sobrejetora e vice-versa, concluímos que ser bijetora é equivalente a ser injetora ou sobrejetora. Portanto, a condição © ser bijetora não é apenas uma propriedade adicional, mas uma condição que encapsula ambas as características de injeção e sobrejeção.

Resposta

Assim, em espaços vetoriais de dimensão finita com , para uma transformação linear , a condição © de ser bijetora é equivalente a outras condições como ser injetora ou sobrejetora.

Exercícios relacionados

Dado o PVI: .
b) Calcule uma estimativa para 0 erro.
Dadas as matrizes , calcule as matrizes,
Mostre que se e são espaços vetoriais de dimensão finita tais que e se então as seguintes condições são equivalentes:
(d) leva bases de em bases de .
Quais das transformações abaixo são lineares?
(q)