Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) do tipo:
O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, a gente precisa entender onde os coeficientes da equação são contínuos, porque isso garante a existência e unicidade da solução. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Para garantir que a solução exista e seja única, os coeficientes , , e precisam ser contínuos no intervalo considerado. Além disso, não pode ser zero nesse intervalo, porque ele está multiplicando o .

Passo 3

Vamos analisar onde é contínuo e diferente de zero. A função é um polinômio, que é contínuo em todo lugar, exceto onde .
Então, quando . Isso significa que em , a equação pode ter problemas porque o coeficiente de se anula.

Passo 4

Como o coeficiente só é zero em , precisamos escolher um intervalo que não inclua esse ponto para garantir a existência e unicidade da solução.
Além disso, como o PVI nos dá condições iniciais em , a gente vai escolher um intervalo que inclua e que se estenda até, mas sem incluir, .

Passo 5

Portanto, o maior intervalo possível onde podemos garantir que existe uma única solução para o PVI é:
Esse intervalo evita o ponto onde o coeficiente de seria zero, garantindo que todas as condições para a existência e unicidade da solução sejam atendidas.

Resposta

O maior intervalo em que podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI é .

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