Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) do tipo:
O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, a gente precisa entender onde os coeficientes da equação são contínuos, porque isso garante a existência e unicidade da solução. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. A equação está na forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Para garantir que a solução exista e seja única, os coeficientes
,
,
e
precisam ser contínuos no intervalo considerado. Além disso,
não pode ser zero nesse intervalo, porque ele está multiplicando o
.
Passo 3
Vamos analisar onde
é contínuo e diferente de zero. A função
é um polinômio, que é contínuo em todo lugar, exceto onde
.
Então,
quando
. Isso significa que em
, a equação pode ter problemas porque o coeficiente de
se anula.
Passo 4
Como o coeficiente
só é zero em
, precisamos escolher um intervalo que não inclua esse ponto para garantir a existência e unicidade da solução.
Além disso, como o PVI nos dá condições iniciais em
, a gente vai escolher um intervalo que inclua
e que se estenda até, mas sem incluir,
.
Passo 5
Portanto, o maior intervalo possível onde podemos garantir que existe uma única solução para o PVI é:
Esse intervalo evita o ponto
onde o coeficiente de
seria zero, garantindo que todas as condições para a existência e unicidade da solução sejam atendidas.
Resposta
O maior intervalo em que podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI é
.
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