Dados os pares de funções abaixo: (a)\left{e^{-2 t}, t e^{-2 t}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em (-infinito, infinito);

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão nos dá um par de funções: e . Nosso objetivo aqui é calcular o Wronskiano dessas funções e descobrir se elas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo de a .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a determinar a independência linear das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano é uma ferramenta que usamos para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente ou dependente. Para duas funções e , o Wronskiano é calculado da seguinte forma:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Caso contrário, são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções fornecidas:
  1. Primeira função:
    • Derivada:
  2. Segunda função:
    • Derivada usando a regra do produto:

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos montar o Wronskiano:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão passo a passo:
  1. Multiplicando pelos termos de :
  2. Multiplicando por :
    Mas temos um sinal negativo fora, então:
Agora, somando todas as partes:

Passo 6

Observamos que o Wronskiano simplificou para:
Sabemos que a função exponencial nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, nunca é zero no intervalo .

Passo 7

Como o Wronskiano é diferente de zero em todo o intervalo considerado, podemos concluir que as funções e são linearmente independentes nesse intervalo.

Resposta

O Wronskiano das funções é , que é diferente de zero para todo em . Portanto, o conjunto de funções é linearmente independente nesse intervalo.

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