Dados os pares de funções abaixo: (a)\left{e^{-2 t}, t e^{-2 t}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A questão nos dá um par de funções: e . Nosso objetivo aqui é calcular o Wronskiano dessas funções e descobrir se elas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo de a .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o Wronskiano e como ele nos ajuda a determinar a independência linear das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Wronskiano. O Wronskiano é uma ferramenta que usamos para verificar se um conjunto de funções é linearmente independente ou dependente. Para duas funções e , o Wronskiano é calculado da seguinte forma:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Caso contrário, são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções fornecidas:
Primeira função:
Derivada:
Segunda função:
Derivada usando a regra do produto:
Passo 4
Agora que temos as derivadas, vamos montar o Wronskiano:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão passo a passo:
Multiplicando pelos termos de :
Multiplicando por :
Mas temos um sinal negativo fora, então:
Agora, somando todas as partes:
Passo 6
Observamos que o Wronskiano simplificou para:
Sabemos que a função exponencial nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, nunca é zero no intervalo .
Passo 7
Como o Wronskiano é diferente de zero em todo o intervalo considerado, podemos concluir que as funções e são linearmente independentes nesse intervalo.
Resposta
O Wronskiano das funções é , que é diferente de zero para todo em . Portanto, o conjunto de funções é linearmente independente nesse intervalo.