Dados os pares de funções abaixo: (b){\operatorname{sen} 2 \mathrm{t}, sen t \cos t} , encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um par de funções: e . A gente precisa encontrar o Wronskiano dessas funções e descobrir se elas são linearmente independentes ou dependentes em todo o intervalo dos números reais .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele ajuda a determinar a independência linear das funções. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido como:
Ou seja, é o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das nossas funções:
Função 1:
A derivada de em relação a é:
Função 2:
Para derivar , usamos a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
Vamos calcular esse determinante:
Passo 5
Simplificando as expressões trigonométricas:
Sabemos que:
E também, , mas vamos usar diretamente as expressões simplificadas.
Substituindo na expressão do Wronskiano:
Fatorando :
Sabemos que , então:
Passo 6
O Wronskiano deu zero para todo . Agora, o que isso significa?
Quando o Wronskiano de duas funções é zero em algum intervalo, isso pode indicar que as funções são linearmente dependentes nesse intervalo. No entanto, se o Wronskiano é zero em todo o intervalo, geralmente conclui-se que as funções são linearmente dependentes no intervalo considerado.
Passo 7
Para confirmar, vamos ver se uma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Observemos que:
Ou seja:
Isso mostra que é simplesmente duas vezes , ou seja, elas são proporcionalmente relacionadas. Portanto, as funções são linearmente dependentes.
Resposta
O Wronskiano das funções e é zero para todo em , indicando que elas são linearmente dependentes nesse intervalo.