Dados os pares de funções abaixo: (b){\operatorname{sen} 2 \mathrm{t}, sen t \cos t} , encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um par de funções: e . A gente precisa encontrar o Wronskiano dessas funções e descobrir se elas são linearmente independentes ou dependentes em todo o intervalo dos números reais .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele ajuda a determinar a independência linear das funções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é definido como:
Ou seja, é o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das nossas funções:
  1. Função 1:
    A derivada de em relação a é:
  2. Função 2:
    Para derivar , usamos a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
Vamos calcular esse determinante:

Passo 5

Simplificando as expressões trigonométricas:
Sabemos que:
E também, , mas vamos usar diretamente as expressões simplificadas.
Substituindo na expressão do Wronskiano:
Fatorando :
Sabemos que , então:

Passo 6

O Wronskiano deu zero para todo . Agora, o que isso significa?
Quando o Wronskiano de duas funções é zero em algum intervalo, isso pode indicar que as funções são linearmente dependentes nesse intervalo. No entanto, se o Wronskiano é zero em todo o intervalo, geralmente conclui-se que as funções são linearmente dependentes no intervalo considerado.

Passo 7

Para confirmar, vamos ver se uma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Observemos que:
Ou seja:
Isso mostra que é simplesmente duas vezes , ou seja, elas são proporcionalmente relacionadas. Portanto, as funções são linearmente dependentes.

Resposta

O Wronskiano das funções e é zero para todo em , indicando que elas são linearmente dependentes nesse intervalo.

Exercícios relacionados

Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Dados os pares de funções abaixo: (a)\left{e^{-2 t}, t e^{-2 t}\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;
Resolva as seguintes equações diferenciais: (a)
Resolva as seguintes equações diferenciais: (k)