Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Nosso objetivo é descobrir o maior intervalo de valores de onde existe uma única solução para essa equação, ou seja, onde a solução é garantida de existir e ser única.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para garantir a existência e a unicidade da solução de uma equação diferencial, precisamos que os coeficientes da equação sejam contínuos no intervalo que estamos analisando. No nosso caso, os coeficientes são:
  • na frente de ,
  • na frente de ,
  • na frente de .
Então, vamos verificar onde esses coeficientes são contínuos.

Passo 3

Vamos analisar cada coeficiente:
  1. : Este é um polinômio e é contínuo para todo valor de . Porém, se , a equação muda de ordem, o que pode causar problemas. Portanto, .
  2. : Também é um polinômio e contínuo para todo .
  3. : A função logaritmo natural está definida e é contínua apenas para . Além disso, não pode ser zero porque o logaritmo de zero não existe.

Passo 4

Agora, vamos combinar essas informações. Precisamos que todas as funções sejam contínuas no intervalo que inclui (ponto onde as condições iniciais estão dadas).
  • Como está entre 0 e 3, e sabemos que deve ser maior que 0 e diferente de 3, o maior intervalo que satisfaz todas essas condições é de entre 0 e 3, ou seja, .

Resposta

O maior intervalo possível é .

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