Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é descobrir o maior intervalo de valores de
onde existe uma única solução para essa equação, ou seja, onde a solução é garantida de existir e ser única.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para garantir a existência e a unicidade da solução de uma equação diferencial, precisamos que os coeficientes da equação sejam contínuos no intervalo que estamos analisando. No nosso caso, os coeficientes são:
-
na frente de , -
na frente de , -
na frente de .
Então, vamos verificar onde esses coeficientes são contínuos.
Passo 3
Vamos analisar cada coeficiente:
-
: Este é um polinômio e é contínuo para todo valor de . Porém, se , a equação muda de ordem, o que pode causar problemas. Portanto, . -
: Também é um polinômio e contínuo para todo . -
: A função logaritmo natural está definida e é contínua apenas para . Além disso, não pode ser zero porque o logaritmo de zero não existe.
Passo 4
Agora, vamos combinar essas informações. Precisamos que todas as funções sejam contínuas no intervalo que inclui
(ponto onde as condições iniciais estão dadas).
- Como
está entre 0 e 3, e sabemos que deve ser maior que 0 e diferente de 3, o maior intervalo que satisfaz todas essas condições é de entre 0 e 3, ou seja, .
Resposta
O maior intervalo possível é
.
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Verifique que as soluções
e
são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? c) ,