Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? c) ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se as funções e são soluções da equação diferencial dada:
Depois, precisamos determinar se essas duas soluções formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e o Wronskiano para verificar a independência linear das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Então, satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é uma solução. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
Sabemos que , então:
Portanto:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Agora, somando todos os termos:
Portanto, também satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Agora que verificamos que tanto quanto são soluções da equação diferencial, precisamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções. Isso significa que as soluções devem ser linearmente independentes no intervalo considerado.
Para verificar a independência linear, calculamos o Wronskiano das duas soluções:

[
W(y_1, y_2)(x) =


= x \cos x - \sen x \cdot 1 = x \cos x - \sen x
]
Precisamos verificar se é diferente de zero no intervalo .
Analisando :
  • Em , , mas estamos considerando .
  • Para , varia de 1 a -1 e varia de 0 a 0.
Vamos verificar se existe algum em onde :
A equação tem solução somente em , que está fora do nosso intervalo. Portanto, no intervalo , .

Resposta

Sim, as funções e são soluções da equação diferencial dada e formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo .

Exercícios relacionados

Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Resolva as seguintes equações diferenciais: (e)
Resolva as seguintes equações diferenciais: (g)