Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo é determinar o maior intervalo possível onde podemos garantir a existência de uma única solução para esse PVI. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais e as condições de existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para torná-la mais clara. Dividindo todos os termos por
, temos:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
onde:
Passo 3
Para garantir a existência e unicidade da solução para o PVI, precisamos que as funções
e
sejam contínuas no intervalo considerado e que o coeficiente de
, que é
, não seja zero nesse intervalo.
Então, devemos analisar onde
e
são contínuos e onde
.
Passo 4
Vamos analisar cada função:
-
Função
: - É contínua para todos os valores de
exceto , onde ocorre uma descontinuidade (divisão por zero).
- É contínua para todos os valores de
-
Função
: - É contínua onde
, ou seja, para , onde é inteiro.
- É contínua onde
-
Coeficiente
: - Não pode ser zero, então
.
- Não pode ser zero, então
Passo 5
Agora, identificamos os pontos onde as funções não são contínuas:
-
(devido a e ao coeficiente de ). -
, para todo inteiro (devido a ).
Queremos encontrar o maior intervalo que contenha o ponto inicial
e que não inclua esses pontos de descontinuidade.
Passo 6
Vamos considerar os valores de
próximos a 3:
- O ponto mais próximo à esquerda de 3 onde ocorre descontinuidade é
. - O ponto mais próximo à direita de 3 onde ocorre descontinuidade depende de qual múltiplo de
está próximo. Sabemos que , então .
Calculando:
-
.
Portanto, o próximo ponto de descontinuidade após 3 é aproximadamente 4,71.
Passo 7
Assim, o maior intervalo que contém
e não inclui os pontos de descontinuidade é:
Dentro desse intervalo, as funções
e
são contínuas, e o coeficiente de
não é zero. Portanto, de acordo com o Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução para o PVI nesse intervalo.
Resposta
O maior intervalo possível onde podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI é
.
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;
Verifique que as soluções
e
são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? c) ,
Resolva as seguintes equações diferenciais: (e)