Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Nosso objetivo é determinar o maior intervalo possível onde podemos garantir a existência de uma única solução para esse PVI. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais e as condições de existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para torná-la mais clara. Dividindo todos os termos por x - 2, temos:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
onde:

Passo 3

Para garantir a existência e unicidade da solução para o PVI, precisamos que as funções P(x) e Q(x) sejam contínuas no intervalo considerado e que o coeficiente de , que é x - 2, não seja zero nesse intervalo.
Então, devemos analisar onde P(x) e Q(x) são contínuos e onde .

Passo 4

Vamos analisar cada função:
  1. Função :
    • É contínua para todos os valores de x exceto x = 2, onde ocorre uma descontinuidade (divisão por zero).
  2. Função :
    • É contínua onde , ou seja, para , onde k é inteiro.
  3. Coeficiente x - 2:
    • Não pode ser zero, então x != 2.

Passo 5

Agora, identificamos os pontos onde as funções não são contínuas:
  • x = 2 (devido a P(x) e ao coeficiente de ).
  • , para todo inteiro k (devido a Q(x)).
Queremos encontrar o maior intervalo que contenha o ponto inicial e que não inclua esses pontos de descontinuidade.

Passo 6

Vamos considerar os valores de x próximos a 3:
  • O ponto mais próximo à esquerda de 3 onde ocorre descontinuidade é x = 2.
  • O ponto mais próximo à direita de 3 onde ocorre descontinuidade depende de qual múltiplo de pi está próximo. Sabemos que , então .
Calculando:
  • .
Portanto, o próximo ponto de descontinuidade após 3 é aproximadamente 4,71.

Passo 7

Assim, o maior intervalo que contém e não inclui os pontos de descontinuidade é:
Dentro desse intervalo, as funções P(x) e Q(x) são contínuas, e o coeficiente de não é zero. Portanto, de acordo com o Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução para o PVI nesse intervalo.

Resposta

O maior intervalo possível onde podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI é .

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