Resolva as seguintes equações diferenciais: (e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar reordenar a equação e usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para que todos os termos fiquem de um lado e igualem a zero. Assim, temos:
Agora, nossa equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

Passo 3

Em seguida, vamos usar a equação característica para encontrar as soluções dessa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por , o que leva a:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes s��o complexas: e .

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Aplicando isso às nossas raízes :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? c) ,
Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Resolva as seguintes equações diferenciais: (g)
Dados os pares de funções abaixo: (e)\left{t^{2}+5 t, t^{2}-5 t\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ;