Resolva as seguintes equações diferenciais: (e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar reordenar a equação e usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para que todos os termos fiquem de um lado e igualem a zero. Assim, temos:
Agora, nossa equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.
Passo 3
Em seguida, vamos usar a equação característica para encontrar as soluções dessa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
, o que leva a:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes s��o complexas:
e
.
Passo 5
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Aplicando isso às nossas raízes
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Verifique que as soluções
e
são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? c) ,
Dado um PVI do tipo determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI
Resolva as seguintes equações diferenciais: (g)
Dados os pares de funções abaixo: (e)\left{t^{2}+5 t, t^{2}-5 t\right}, encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em
;