Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(a) .

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou “kernel”, é basicamente o conjunto de todos os vetores que a transformação envia para o zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações lineares e entender como representar esse conjunto geometricamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a definição da transformação linear dada:
Nosso objetivo é encontrar todos os pares que satisfazem .

Passo 3

Agora, igualamos a transformação a zero e montamos a equação:
Essa é uma equação linear que relaciona e .

Passo 4

Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, digamos :
Isso significa que, para cada valor de , deve ser o dobro de , mas negativo.

Passo 5

Então, o núcleo da transformação é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Podemos representar isso de forma paramétrica:
ú
Isso descreve uma reta que passa pela origem no plano .

Passo 6

Geometricamente, o núcleo é uma linha reta que passa pela origem com inclinação de . Isso significa que todos os vetores no núcleo estão alinhados nessa reta específica.

Resposta

O núcleo da transformação é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Geometricamente, isso corresponde a uma reta que passa pela origem com inclinação de .

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Dado o PVI: .
a) Usando o método de Euler, calcule a soluçăo aproximada do PVI para e subintervalos.
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a) .
Resolva o sistema linear:

Por Cramer