Determine o núcleo das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
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Passo 1
Beleza, temos um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou “kernel”, é basicamente o conjunto de todos os vetores que a transformação envia para o zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações lineares e entender como representar esse conjunto geometricamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a definição da transformação linear dada:
Nosso objetivo é encontrar todos os pares que satisfazem .
Passo 3
Agora, igualamos a transformação a zero e montamos a equação:
Essa é uma equação linear que relaciona e .
Passo 4
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, digamos :
Isso significa que, para cada valor de , deve ser o dobro de , mas negativo.
Passo 5
Então, o núcleo da transformação é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Podemos representar isso de forma paramétrica:
Isso descreve uma reta que passa pela origem no plano .
Passo 6
Geometricamente, o núcleo é uma linha reta que passa pela origem com inclinação de . Isso significa que todos os vetores no núcleo estão alinhados nessa reta específica.
Resposta
O núcleo da transformação é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem . Geometricamente, isso corresponde a uma reta que passa pela origem com inclinação de .