Dado um quadrilátero A B C D, tal que A D=5 u, B C=3 u e tal que A B=v.
a) determine o lado C D e as diagonais B D e C A em função de u e v
b) prove que A B C D é um trapézio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um quadrilátero onde:
O conteúdo principal aqui envolve álgebra vetorial aplicada a geometria. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar usar operações com vetores como adição e subtração, além de entender propriedades de quadriláteros, especialmente trapézios.

Passo 2

Parte a): Determinar CD = -(v + 3u + 5u) = -(v + 8u) = -v - 8u , BD = -v + 5u e CA = -3u - v = -v - 3u
Vamos começar identificando as posições dos vetores no quadrilátero.
  1. Encontrar :
    • Sabemos que em um quadrilátero, (pois formam um caminho fechado).
    • Rearranjando:
    • Substituindo os valores:
  2. Encontrar :
    • Então:
  3. Encontrar :
    • Então:

Passo 3

Parte b): Provar que BC = 35 AD é um trapézio
Para provar que um quadrilátero é um trapézio, precisamos mostrar que pelo menos um par de lados opostos é paralelo.
Sabemos que dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Vamos verificar se e são paralelos.
Observamos que:
Isso mostra que e são paralelos, pois um é múltiplo escalar do outro.
Portanto, possui um par de lados opostos paralelos, caracterizando-o como um trapézio.

Resposta

a)
CD = -v - 8u, BD = 5u - v, CA = -v - 3u
b) O quadrilátero é um trapézio porque os lados e são paralelos.

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