Dado um quadrilátero , tal que e tal que A B=v.
a) determine o lado C D e as diagonais B D e C A em função de u e v
b) prove que A B C D é um trapézio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um quadrilátero onde:
O conteúdo principal aqui envolve álgebra vetorial aplicada a geometria. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar usar operações com vetores como adição e subtração, além de entender propriedades de quadriláteros, especialmente trapézios.
Passo 2
Parte a): Determinar CD = -(v + 3u + 5u) = -(v + 8u) = -v - 8u , BD = -v + 5u e CA = -3u - v = -v - 3u
Vamos começar identificando as posições dos vetores no quadrilátero.
Encontrar :
Sabemos que em um quadrilátero, (pois formam um caminho fechado).
Rearranjando:
Substituindo os valores:
Encontrar :
Então:
Encontrar :
Então:
Passo 3
Parte b): Provar que BC = 35 AD é um trapézio
Para provar que um quadrilátero é um trapézio, precisamos mostrar que pelo menos um par de lados opostos é paralelo.
Sabemos que dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Vamos verificar se e são paralelos.
Observamos que:
Isso mostra que e são paralelos, pois um é múltiplo escalar do outro.
Portanto, possui um par de lados opostos paralelos, caracterizando-o como um trapézio.
Resposta
a)
CD = -v - 8u, BD = 5u - v, CA = -v - 3u
b) O quadrilátero é um trapézio porque os lados e são paralelos.