Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. r3 x-y+2 z-t=0, 3 x+y+3 z+t=0, x-y-z-5 t=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e quatro incógnitas:
3x - y + 2z - t = 0, 3x + y + 3z + t = 0, x - y - z - 5t = 0
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de sistemas lineares usando o método de Gauss-Jordan. Para resolver, vamos precisar manipular matrizes, especialmente a matriz aumentada do sistema, e realizar operações de linha para chegar à forma escalonada reduzida.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
[cccc|c 3 & -1 & 2 & -1 & 0 3 & 1 & 3 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & -5 & 0 ]

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jordan para reduzir essa matriz à forma escalonada reduzida. Nosso objetivo é ter 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima desses 1’s.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Podemos dividir toda a primeira linha por 3:
[cccc|c 1 & -13 & 23 & -13 & 0 3 & 1 & 3 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & -5 & 0 ]

Passo 4

Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha.
Após essas operações, a matriz fica:
[cccc|c 1 & -13 & 23 & -13 & 0 0 & 2 & 1 & 2 & 0 0 & -23 & -53 & -143 & 0 ]

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda linha para criar um 1 na posição (2,2). Dividimos a segunda linha por 2:
[cccc|c 1 & -13 & 23 & -13 & 0 0 & 1 & 12 & 1 & 0 0 & -23 & -53 & -143 & 0 ]

Passo 6

Em seguida, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna:
  • Adicione [cccc|c 1 & 0 & 56 & 23 & 0 0 & 1 & 12 & 1 & 0 0 & 0 & -2 & -4 & 0 ] vezes a segunda linha à primeira linha.
  • Adicione vezes a segunda linha à terceira linha.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira linha para criar um 1 na posição (3,3). Dividimos a terceira linha por -2:
[cccc|c 1 & 0 & 56 & 23 & 0 0 & 1 & 12 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 ]

Passo 8

Por fim, vamos eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna:
  • Subtraia [cccc|c 1 & 0 & 0 & -43 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 ] vezes a terceira linha da primeira linha.
  • Subtraia vezes a terceira linha da segunda linha.
Após essas operações, a matriz reduzida fica:

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = 43t, y = 0, z = -2t, t é livre é
Isso significa que o sistema possui grau de liberdade 1, e todas as soluções podem ser expressas em função de .

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