Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e quatro incógnitas:
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de sistemas lineares usando o método de Gauss-Jordan. Para resolver, vamos precisar manipular matrizes, especialmente a matriz aumentada do sistema, e realizar operações de linha para chegar à forma escalonada reduzida.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jordan para reduzir essa matriz à forma escalonada reduzida. Nosso objetivo é ter 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima desses 1’s.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Podemos dividir toda a primeira linha por 3:
Passo 4
Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso:
Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtraia a primeira linha da terceira linha.
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos trabalhar com a segunda linha para criar um 1 na posição (2,2). Dividimos a segunda linha por 2:
Passo 6
Em seguida, vamos eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna:
Adicione vezes a segunda linha à primeira linha.
Adicione vezes a segunda linha à terceira linha.
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos trabalhar com a terceira linha para criar um 1 na posição (3,3). Dividimos a terceira linha por -2:
Passo 8
Por fim, vamos eliminar os elementos acima do 1 na terceira coluna:
Subtraia vezes a terceira linha da primeira linha.
Subtraia vezes a terceira linha da segunda linha.
Após essas operações, a matriz reduzida fica:
Resposta
A solução geral do sistema é:
é
Isso significa que o sistema possui grau de liberdade 1, e todas as soluções podem ser expressas em função de .