(PUC-MG) Escreva na forma a + bi, o produto dos três números complexos: , , i.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três números complexos na forma polar:
Queremos multiplicar esses três números e escrever o resultado na forma , que é a forma retangular dos números complexos. Para isso, vamos usar algumas propriedades de números complexos, especialmente como multiplicar números na forma polar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando multiplicamos números complexos na forma polar, a gente multiplica os módulos (os números na frente do cosseno e seno) e soma os argumentos (os ângulos dentro do cosseno e seno).
Então, se temos , o produto de três desses números será:
Módulo:
Argumento:
Passo 3
Vamos calcular o módulo do produto:
Passo 4
Agora, vamos somar os argumentos:
Passo 5
Com o módulo e o argumento, o produto na forma polar fica:
Passo 6
Para converter isso para a forma , vamos calcular os valores de e :
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão do produto: