(PUC-MG) Escreva na forma a + bi, o produto dos três números complexos: , , i .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três números complexos na forma polar:
Queremos multiplicar esses três números e escrever o resultado na forma , que é a forma retangular dos números complexos. Para isso, vamos usar algumas propriedades de números complexos, especialmente como multiplicar números na forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando multiplicamos números complexos na forma polar, a gente multiplica os módulos (os números na frente do cosseno e seno) e soma os argumentos (os ângulos dentro do cosseno e seno).
Então, se temos , o produto de três desses números será:
  • Módulo:
  • Argumento:

Passo 3

Vamos calcular o módulo do produto:

Passo 4

Agora, vamos somar os argumentos:

Passo 5

Com o módulo e o argumento, o produto na forma polar fica:

Passo 6

Para converter isso para a forma , vamos calcular os valores de e :

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão do produto:

Resposta

O produto dos três números complexos é .

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores .
a)
b)
c)
d)
e)
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Dado um quadrilátero , tal que e tal que .
a) determine o lado e as diagonais e em função de e
b) prove que é um trapézio.