(PUC-MG) Escreva na forma a + bi, o produto dos três números complexos: z1=2(cos 40^circ+i sen 40^circ), z2=3(cos 135^circ+i sen 135^circ), z3=1(cos 125^circ+ i sen125^circ).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três números complexos na forma polar:
Queremos multiplicar esses três números e escrever o resultado na forma , que é a forma retangular dos números complexos. Para isso, vamos usar algumas propriedades de números complexos, especialmente como multiplicar números na forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando multiplicamos números complexos na forma polar, a gente multiplica os módulos (os números na frente do cosseno e seno) e soma os argumentos (os ângulos dentro do cosseno e seno).
Então, se temos , o produto de três desses números será:
  • Módulo:
  • Argumento:

Passo 3

Vamos calcular o módulo do produto:
rproduto = 2 times 3 times 1 = 6

Passo 4

Agora, vamos somar os argumentos:
thetaproduto = 40^circ + 135^circ + 125^circ
thetaproduto = 300^circ

Passo 5

Com o módulo e o argumento, o produto na forma polar fica:

Passo 6

Para converter isso para a forma cos 300^circ = cos (360^circ - 60^circ) = cos 60^circ = 0,5 , vamos calcular os valores de sen 300^circ = sen (360^circ - 60^circ) = -sen 60^circ = -raiz32 e :

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão do produto:
6 ( 0,5 + i (-raiz32) ) = 6 times 0,5 + 6 times i (-raiz32)
= 3 - 3raiz3,i

Resposta

O produto dos três números complexos é .

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