Dados os vetores e tais que e é paralelo a . Prove que é paralelo a se, e somente se, é paralelo a .
Passo 1
Vamos resolver um problema envolvendo vetores e paralelismo. O enunciado nos dá quatro vetores: , , e . Sabemos que e que é paralelo a . Nosso objetivo é provar que é paralelo a se, e somente se, também for paralelo a . Para isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Vetores e são paralelos se existe um escalar tal que . Isso significa que eles têm a mesma direção ou são diretamente opostos.
Passo 3
Sabemos que é paralelo a . Então, podemos escrever:
onde é um escalar.
Passo 4
Substituindo na equação , temos:
Passo 5
Queremos provar que é paralelo a se, e somente se, é paralelo a . Isso significa que precisamos provar duas implicações:
Se é paralelo a , então é paralelo a .
Se é paralelo a , então é paralelo a .
Passo 6
Primeira Implicação:
Assumamos que é paralelo a . Então, existe um escalar tal que:
Substituindo na equação anterior:
Isolando :
Isso mostra que é um múltiplo de , ou seja, é paralelo a .
Passo 7
Segunda Implicação:
Agora, assumamos que é paralelo a . Então, existe um escalar tal que:
Substituindo na equação :
Isso mostra que é um múltiplo de , ou seja, é paralelo a .
Resposta
Portanto, demonstramos que é paralelo a se, e somente se, é paralelo a .