Dados os vetores u, v, w e z tais que w=u+v e u é paralelo a z. Prove que w é paralelo a z se, e somente se, v é paralelo a z.

Passo 1

Vamos resolver um problema envolvendo vetores e paralelismo. O enunciado nos dá quatro vetores: , , e . Sabemos que e que é paralelo a . Nosso objetivo é provar que é paralelo a se, e somente se, também for paralelo a . Para isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Vetores e são paralelos se existe um escalar tal que . Isso significa que eles têm a mesma direção ou são diretamente opostos.

Passo 3

Sabemos que u = kz é paralelo a . Então, podemos escrever:
onde é um escalar.

Passo 4

Substituindo w = kz + v na equação , temos:

Passo 5

Queremos provar que é paralelo a se, e somente se, é paralelo a . Isso significa que precisamos provar duas implicações:
  1. Se é paralelo a , então é paralelo a .
  2. Se é paralelo a , então é paralelo a .

Passo 6

Primeira Implicação:
Assumamos que w = mz é paralelo a kz + v = mz . Então, existe um escalar v = (m - k)z tal que:
Substituindo na equação anterior:
Isolando :
Isso mostra que é um múltiplo de , ou seja, é paralelo a .

Passo 7

Segunda Implicação:
Agora, assumamos que v = nz é paralelo a w = kz + nz = (k + n)z . Então, existe um escalar tal que:
Substituindo na equação :
Isso mostra que é um múltiplo de , ou seja, é paralelo a .

Resposta

Portanto, demonstramos que é paralelo a se, e somente se, é paralelo a .

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