Dados os vetores
e
tais que
e
é paralelo a
. Prove que
é paralelo a
se, e somente se,
é paralelo a
.
Passo 1
Vamos resolver um problema envolvendo vetores e paralelismo. O enunciado nos dá quatro vetores:
,
,
e
. Sabemos que
e que
é paralelo a
. Nosso objetivo é provar que
é paralelo a
se, e somente se,
também for paralelo a
. Para isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Vetores
e
são paralelos se existe um escalar
tal que
. Isso significa que eles têm a mesma direção ou são diretamente opostos.
Passo 3
Sabemos que
é paralelo a
. Então, podemos escrever:
onde
é um escalar.
Passo 4
Substituindo
na equação
, temos:
Passo 5
Queremos provar que
é paralelo a
se, e somente se,
é paralelo a
. Isso significa que precisamos provar duas implicações:
- Se
é paralelo a , então é paralelo a . - Se
é paralelo a , então é paralelo a .
Passo 6
Primeira Implicação:
Assumamos que
é paralelo a
. Então, existe um escalar
tal que:
Substituindo
na equação anterior:
Isolando
:
Isso mostra que
é um múltiplo de
, ou seja,
é paralelo a
.
Passo 7
Segunda Implicação:
Agora, assumamos que
é paralelo a
. Então, existe um escalar
tal que:
Substituindo
na equação
:
Isso mostra que
é um múltiplo de
, ou seja,
é paralelo a
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
é paralelo a
se, e somente se,
é paralelo a
.