Dado qualquer vetor
em
, mostre, a partir da definição da operação de multiplicação de um escalar por um vetor, que
e
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O problema pede para mostrar que, ao multiplicar um vetor
por 1 e por -1, a gente obtém o próprio vetor e o vetor oposto, respectivamente. Vamos usar a definição de multiplicação de um escalar por um vetor para resolver isso. Precisamos entender como essa operação funciona para qualquer vetor em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um escalar por um vetor. Se temos um escalar
e um vetor
, a multiplicação é feita assim:
Isso significa que cada componente do vetor é multiplicada pelo escalar
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para
. Substituindo na fórmula:
Então, multiplicar o vetor por 1 não muda o vetor.
Passo 4
Em seguida, vamos fazer o mesmo para
. Aplicando na fórmula:
Multiplicar o vetor por -1 inverte a direção do vetor, dando o vetor oposto.
Resposta
Portanto, mostramos que
e
para qualquer vetor
em
, usando a definição de multiplicação de um escalar por um vetor.