Dado qualquer vetor v em R^3, mostre, a partir da definição da operação de multiplicação de um escalar por um vetor, que 1 v=v e (-1) v=-v.

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema pede para mostrar que, ao multiplicar um vetor v por 1 e por -1, a gente obtém o próprio vetor e o vetor oposto, respectivamente. Vamos usar a definição de multiplicação de um escalar por um vetor para resolver isso. Precisamos entender como essa operação funciona para qualquer vetor em R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um escalar por um vetor. Se temos um escalar k e um vetor v = (v1, v2, v3), a multiplicação é feita assim:
k v = (k v1, k v2, k v3)
Isso significa que cada componente do vetor é multiplicada pelo escalar k.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para k = 1. Substituindo na fórmula:
1 v = (1 cdot v1, 1 cdot v2, 1 cdot v3) = (v1, v2, v3) = v
Então, multiplicar o vetor por 1 não muda o vetor.

Passo 4

Em seguida, vamos fazer o mesmo para k = -1. Aplicando na fórmula:
-1 v = (-1 cdot v1, -1 cdot v2, -1 cdot v3) = (-v1, -v2, -v3) = -v
Multiplicar o vetor por -1 inverte a direção do vetor, dando o vetor oposto.

Resposta

Portanto, mostramos que 1 v = v e (-1) v = -v para qualquer vetor v em R^3, usando a definição de multiplicação de um escalar por um vetor.

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