Dado qualquer vetor v em R^3, mostre, a partir da definição da operação de multiplicação de um escalar por um vetor, que 1 v=v e (-1) v=-v.

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema pede para mostrar que, ao multiplicar um vetor v por 1 e por -1, a gente obtém o próprio vetor e o vetor oposto, respectivamente. Vamos usar a definição de multiplicação de um escalar por um vetor para resolver isso. Precisamos entender como essa operação funciona para qualquer vetor em R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa multiplicar um escalar por um vetor. Se temos um escalar k e um vetor v = (v1, v2, v3), a multiplicação é feita assim:
k v = (k v1, k v2, k v3)
Isso significa que cada componente do vetor é multiplicada pelo escalar k.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para k = 1. Substituindo na fórmula:
1 v = (1 cdot v1, 1 cdot v2, 1 cdot v3) = (v1, v2, v3) = v
Então, multiplicar o vetor por 1 não muda o vetor.

Passo 4

Em seguida, vamos fazer o mesmo para k = -1. Aplicando na fórmula:
-1 v = (-1 cdot v1, -1 cdot v2, -1 cdot v3) = (-v1, -v2, -v3) = -v
Multiplicar o vetor por -1 inverte a direção do vetor, dando o vetor oposto.

Resposta

Portanto, mostramos que 1 v = v e (-1) v = -v para qualquer vetor v em R^3, usando a definição de multiplicação de um escalar por um vetor.

Exercícios relacionados

(5 pontos) Determine os autovalores, autovetores e se for possível, encontre as matrizes P e D que diagonalizam a seguinte matriz: (aula a ser ministrada no dia 03/09 na turma 2)
(a)
A=[cc -6 & 3 4 & 5 ]
(b)
A=[lll 2 & 0 & 0 0 & 4 & 5 0 & 4 & 3 ]
(c)
A=[ccc 0 & -6 & -4 5 & -11 & -6 -6 & 9 & 4 ]
Suponhamos que os vetores a=(2,-3,6) e b=(-1,2,-2) estejam representados na mesma origem. Calcule as coordenadas do vetor c sobre a bissetriz do ângulo formado por a e b, sabendo que |c|=3 raiz42.
Esboce cada uma das seguintes cônicas:(aula a ser ministrada no dia 02/09 na turma 1 e no dia 05/09 na turma 2)
(a) x^2+y^2-4 x+6 y=17
(b) x^2-8 x+4 y=0
© 2 x^2+3 y^2-4 x+6 y=17
(d) 2 x^2-3 y^2-4 x+6 y=17
Use diagonalização de matrizes simétricas para esboçar as seguintes cônicas rotacionadas: (aula a ser ministrada no dia 05/09 na turma 1 e no dia 10/09 na turma 2)
(a) 9 x^2-4 x y+6 y^2=30
(b) 2 x^2-4 x y-y^2=-24;
© x^2-6 x y-7 y^2+10 x+2 y+9=0
(d) x^2-y^2+2 raiz3 x y+6 x=0.