(5 pontos) Determine os autovalores, autovetores e se for possível, encontre as matrizes P e D que diagonalizam a seguinte matriz: (aula a ser ministrada no dia 03/09 na turma 2)
(a)
A=[cc -6 & 3 4 & 5 ]
(b)
A=[lll 2 & 0 & 0 0 & 4 & 5 0 & 4 & 3 ]
(c)
A=[ccc 0 & -6 & -4 5 & -11 & -6 -6 & 9 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (a) juntos! O enunciado pede para encontrar os autovalores, autovetores e, se der, as matrizes P e D que diagonalizam a matriz dada. Vamos usar a matriz:
A=[cc -6 & 3 4 & 5 ]
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores. Autovalores são valores que, quando aplicados à matriz, não mudam a direção dos vetores (autovetores). A diagonalização é um processo que transforma a matriz original em uma matriz diagonal (D) usando uma matriz de autovetores §.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = [cc -6 - lambda & 3 4 & 5 - lambda ] :
det(A - lambda I) = (-6 - lambda)(5 - lambda) - (3 times 4)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
= (-6)(5 - lambda) - lambda(5 - lambda) - 12
Simplificando:
= -30 + 6lambda -5lambda + lambda^2 -12
= lambda^2 + lambda -42

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 + lambda -42 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
lambda = -1 pm raiz1 + 1682
Onde lambda = -1 pm raiz1692 , lambda = -1 pm 132 e lambda1 = -1 + 132 = 6 :
lambda2 = -1 - 132 = -7
Então, temos dois autovalores:

Passo 5

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para cada autovalor, resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 6

Para A - 6I = [cc -6 -6 & 3 4 & 5 -6 ] = [cc -12 & 3 4 & -1 ] :
Montamos a matriz -12x + 3y = 0 4x - y = 0 :
-12x + 3(4x) = 0 -12x + 12x = 0 0 = 0
Resolvendo 1 4:
Isso nos dá o sistema:
v1 = 1 4
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, o autovetor é qualquer múltiplo de .
Autovetor correspondente a :

Passo 7

Para A + 7I = [cc -6 +7 & 3 4 & 5 +7 ] = [cc 1 & 3 4 & 12 ] :
Montamos a matriz x + 3y = 0 4x + 12y = 0 :
4(-3y) + 12y = 0 -12y + 12y = 0 0 = 0
Resolvendo -3 1:
Isso nos dá o sistema:
v2 = -3 1
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, o autovetor é qualquer múltiplo de .
Autovetor correspondente a :

Passo 8

Agora, vamos formar a matriz P com os autovetores como colunas e a matriz D com os autovalores na diagonal.
P = [cc 1 & -3 4 & 1 ]
D = [cc 6 & 0 0 & -7 ]

Passo 9

Para verificar se P realmente diagonaliza A, podemos conferir se . Mas, para simplificação, vamos considerar que, como encontramos os autovetores e autovalores corretamente, a diagonalização está garantida.

Resposta

Os autovalores da matriz 1 4 são -3 1 e P = [cc 1 & -3 4 & 1 ], D = [cc 6 & 0 0 & -7 ] . Os autovetores correspondentes são e . As matrizes que diagonalizam são:

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