Use diagonalização de matrizes simétricas para esboçar as seguintes cônicas rotacionadas: (aula a ser ministrada no dia 05/09 na turma 1 e no dia 10/09 na turma 2)
(a) 9 x^2-4 x y+6 y^2=30
(b) 2 x^2-4 x y-y^2=-24;
© x^2-6 x y-7 y^2+10 x+2 y+9=0
(d) x^2-y^2+2 raiz3 x y+6 x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar diagonalização de matrizes simétricas pra desenhar uma cônica rotacionada. Vamos focar na parte (a): . Para resolver isso, precisamos entender como representar essa equação numa matriz, encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz e usar essas informações pra identificar e desenhar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação quadrática numa forma de matriz. A equação geral de uma cônica é . No nosso caso, temos , , , e (não temos termos com ou isolados, então ).

Passo 3

Agora, representamos a parte quadrática na forma matricial. A matriz simétrica fica assim:
M = 9 & -2 -2 & 6
Note que o termo é dividido por 2 na matriz.

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores dessa matriz det 9 - lambda & -2 -2 & 6 - lambda = (9 - lambda)(6 - lambda) - (-2)(-2) = 0 . Para isso, resolvemos o determinante lambda^2 - 15lambda + 50 = 0 :
lambda1 = 10 e lambda2 = 5
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos achar os autovetores correspondentes.
Para -1 & -2 -2 & -4 v1 v2 = 0 0 :
-2 1
Isso dá 4 & -2 -2 & 1 v1 v2 = 0 0 . Podemos escolher 1 2 , então o autovetor é .
Para :
Isso dá . Escolhendo , o autovetor é .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos diagonalizar a matriz P = -2 & 1 1 & 2 , Lambda = 10 & 0 0 & 5 :
Então, .

Passo 7

Vamos mudar de coordenadas usando a matriz x y = P X Y :
10X^2 + 5Y^2 = 30 Rightarrow X^23 + Y^26 = 1
Substituindo na equação original:
Essa é a equação da elipse na nova coordenada.

Passo 8

A equação representa uma elipse com semi-eixos de e , alinhados com os eixos e . Como as coordenadas e estão rotacionadas em relação aos eixos originais e , a elipse resultante está rotacionada no plano.

Resposta

A cônica é uma elipse rotacionada, com semi-eixos de comprimento e , alinhados com os eixos principais determinados pelos autovalores e autovetores da matriz associada. O esboço dessa elipse deve refletir sua orientação rotacionada conforme encontrado na diagonalização.

Exercícios relacionados

Esboce cada uma das seguintes cônicas:(aula a ser ministrada no dia 02/09 na turma 1 e no dia 05/09 na turma 2)
(a) x^2+y^2-4 x+6 y=17
(b) x^2-8 x+4 y=0
© 2 x^2+3 y^2-4 x+6 y=17
(d) 2 x^2-3 y^2-4 x+6 y=17
Dado qualquer vetor v em R^3, mostre, a partir da definição da operação de multiplicação de um escalar por um vetor, que 1 v=v e (-1) v=-v.
Indique explicitamente a matriz A=(ai j)3 times 3 tal que ai j=i-j.
Considere os pontos A=(-2,2), B=(1,1), C=(1,3), D=(3,4), E=(3,2), F=(6,1), G=(3,1) e H=(1,0). Ache os vetores, visualizando graficamente os vetores envolvidos no cálculo:
a) A B+B C+C D
b) 2(B C-E C)+3 E F
c) E F+F G+G H+H E
d) C F-(3 A D+D C)