Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar diagonalização de matrizes simétricas pra desenhar uma cônica rotacionada. Vamos focar na parte (a): . Para resolver isso, precisamos entender como representar essa equação numa matriz, encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz e usar essas informações pra identificar e desenhar a cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação quadrática numa forma de matriz. A equação geral de uma cônica é . No nosso caso, temos , , , e (não temos termos com ou isolados, então ).
Passo 3
Agora, representamos a parte quadrática na forma matricial. A matriz simétrica fica assim:
Note que o termo é dividido por 2 na matriz.
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores dessa matriz . Para isso, resolvemos o determinante :
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos achar os autovetores correspondentes.
Para :
Isso dá . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Isso dá . Escolhendo , o autovetor é .
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, podemos diagonalizar a matriz :
Então, .
Passo 7
Vamos mudar de coordenadas usando a matriz :
Substituindo na equação original:
Essa é a equação da elipse na nova coordenada.
Passo 8
A equação representa uma elipse com semi-eixos de e , alinhados com os eixos e . Como as coordenadas e estão rotacionadas em relação aos eixos originais e , a elipse resultante está rotacionada no plano.
Resposta
A cônica é uma elipse rotacionada, com semi-eixos de comprimento e , alinhados com os eixos principais determinados pelos autovalores e autovetores da matriz associada. O esboço dessa elipse deve refletir sua orientação rotacionada conforme encontrado na diagonalização.