Use diagonalização de matrizes simétricas para esboçar as seguintes cônicas rotacionadas: (aula a ser ministrada no dia 05/09 na turma 1 e no dia 10/09 na turma 2)
(a)
(b)
;
©
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar diagonalização de matrizes simétricas pra desenhar uma cônica rotacionada. Vamos focar na parte (a):
. Para resolver isso, precisamos entender como representar essa equação numa matriz, encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz e usar essas informações pra identificar e desenhar a cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação quadrática numa forma de matriz. A equação geral de uma cônica é
. No nosso caso, temos
,
,
, e
(não temos termos com
ou
isolados, então
).
Passo 3
Agora, representamos a parte quadrática na forma matricial. A matriz simétrica fica assim:
Note que o termo
é dividido por 2 na matriz.
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores dessa matriz
. Para isso, resolvemos o determinante
:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos achar os autovetores correspondentes.
Para
:
Isso dá
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Isso dá
. Escolhendo
, o autovetor é
.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, podemos diagonalizar a matriz
:
Então,
.
Passo 7
Vamos mudar de coordenadas usando a matriz
:
Substituindo na equação original:
Essa é a equação da elipse na nova coordenada.
Passo 8
A equação
representa uma elipse com semi-eixos de
e
, alinhados com os eixos
e
. Como as coordenadas
e
estão rotacionadas em relação aos eixos originais
e
, a elipse resultante está rotacionada no plano.
Resposta
A cônica
é uma elipse rotacionada, com semi-eixos de comprimento
e
, alinhados com os eixos principais determinados pelos autovalores e autovetores da matriz associada. O esboço dessa elipse deve refletir sua orientação rotacionada conforme encontrado na diagonalização.