Use diagonalização de matrizes simétricas para esboçar as seguintes cônicas rotacionadas: (aula a ser ministrada no dia 05/09 na turma 1 e no dia 10/09 na turma 2)
(a) 9 x^2-4 x y+6 y^2=30
(b) 2 x^2-4 x y-y^2=-24;
© x^2-6 x y-7 y^2+10 x+2 y+9=0
(d) x^2-y^2+2 raiz3 x y+6 x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar diagonalização de matrizes simétricas pra desenhar uma cônica rotacionada. Vamos focar na parte (a): . Para resolver isso, precisamos entender como representar essa equação numa matriz, encontrar os autovalores e autovetores dessa matriz e usar essas informações pra identificar e desenhar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação quadrática numa forma de matriz. A equação geral de uma cônica é . No nosso caso, temos , , , e (não temos termos com ou isolados, então ).

Passo 3

Agora, representamos a parte quadrática na forma matricial. A matriz simétrica fica assim:
M = 9 & -2 -2 & 6
Note que o termo é dividido por 2 na matriz.

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores dessa matriz det 9 - lambda & -2 -2 & 6 - lambda = (9 - lambda)(6 - lambda) - (-2)(-2) = 0 . Para isso, resolvemos o determinante lambda^2 - 15lambda + 50 = 0 :
lambda1 = 10 e lambda2 = 5
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos achar os autovetores correspondentes.
Para -1 & -2 -2 & -4 v1 v2 = 0 0 :
-2 1
Isso dá 4 & -2 -2 & 1 v1 v2 = 0 0 . Podemos escolher 1 2 , então o autovetor é .
Para :
Isso dá . Escolhendo , o autovetor é .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos diagonalizar a matriz P = -2 & 1 1 & 2 , Lambda = 10 & 0 0 & 5 :
Então, .

Passo 7

Vamos mudar de coordenadas usando a matriz x y = P X Y :
10X^2 + 5Y^2 = 30 Rightarrow X^23 + Y^26 = 1
Substituindo na equação original:
Essa é a equação da elipse na nova coordenada.

Passo 8

A equação representa uma elipse com semi-eixos de e , alinhados com os eixos e . Como as coordenadas e estão rotacionadas em relação aos eixos originais e , a elipse resultante está rotacionada no plano.

Resposta

A cônica é uma elipse rotacionada, com semi-eixos de comprimento e , alinhados com os eixos principais determinados pelos autovalores e autovetores da matriz associada. O esboço dessa elipse deve refletir sua orientação rotacionada conforme encontrado na diagonalização.

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