Suponhamos que os vetores e estejam representados na mesma origem. Calcule as coordenadas do vetor sobre a bissetriz do ângulo formado por e , sabendo que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , que começam na mesma origem. A missão é encontrar as coordenadas de um terceiro vetor, , que está sobre a bissetriz do ângulo entre e e que tem comprimento . Vamos usar geometria vetorial para resolver isso, especificamente a ideia de bissetriz de um ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a bissetriz de um ângulo entre dois vetores. A bissetriz é um vetor que divide o ângulo em duas partes iguais. Matematicamente, a bissetriz pode ser encontrada somando os vetores e normalizados (ou seja, com comprimento 1):
Depois normalizamos esse vetor resultante e ajustamos para que seu comprimento seja .
Passo 3
Vamos calcular os comprimentos de e para poder normalizá-los.
Para :
Para :
Passo 4
Agora, normalizamos os vetores e dividindo cada componente pelo seu respectivo comprimento:
Passo 5
Em seguida, somamos esses dois vetores normalizados para obter a direção da bissetriz:
Vamos calcular cada componente:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos normalizar para que tenhamos um vetor de comprimento 1 na direção da bissetriz:
Então, o vetor unitário na direção da bissetriz é:
Passo 7
Por fim, ajustamos o comprimento desse vetor para que seja . Isso é feito multiplicando cada componente do vetor unitário pelo comprimento desejado: