Suponhamos que os vetores a=(2,-3,6) e b=(-1,2,-2) estejam representados na mesma origem. Calcule as coordenadas do vetor c sobre a bissetriz do ângulo formado por a e b, sabendo que |c|=3 raiz42.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, a = (2, -3, 6) e b = (-1, 2, -2), que começam na mesma origem. A missão é encontrar as coordenadas de um terceiro vetor, c, que está sobre a bissetriz do ângulo entre a e b e que tem comprimento |c| = 3 raiz42. Vamos usar geometria vetorial para resolver isso, especificamente a ideia de bissetriz de um ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a bissetriz de um ângulo entre dois vetores. A bissetriz é um vetor que divide o ângulo em duas partes iguais. Matematicamente, a bissetriz c pode ser encontrada somando os vetores a e b normalizados (ou seja, com comprimento 1):
c = a|a| + b|b|
Depois normalizamos esse vetor resultante e ajustamos para que seu comprimento seja 3 raiz42.

Passo 3

Vamos calcular os comprimentos de a e b para poder normalizá-los.
Para a:
|a| = raiz2^2 + (-3)^2 + 6^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7
Para b:
|b| = raiz(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 4

Agora, normalizamos os vetores a e b dividindo cada componente pelo seu respectivo comprimento:
a|a| = ( 27, -37, 67 )
b|b| = ( -13, 23, -23 )

Passo 5

Em seguida, somamos esses dois vetores normalizados para obter a direção da bissetriz:
c' = ( 27 + -13, -37 + 23, 67 + -23 )
Vamos calcular cada componente:
27 + -13 = 6 - 721 = -121
-37 + 23 = -9 + 1421 = 521
67 + -23 = 18 - 1421 = 421
Então,
c' = ( -121, 521, 421 )

Passo 6

Agora, precisamos normalizar c' para que tenhamos um vetor de comprimento 1 na direção da bissetriz:
|c'| = raiz( -121 )^2 + ( 521 )^2 + ( 421 )^2 = raiz1441 + 25441 + 16441 = raiz42441 = raiz221 = raiz4221
Então, o vetor unitário na direção da bissetriz é:
c = c'|c'| = ( -121 div raiz4221, 521 div raiz4221, 421 div raiz4221 ) = ( -1raiz42, 5raiz42, 4raiz42 )

Passo 7

Por fim, ajustamos o comprimento desse vetor para que seja 3 raiz42. Isso é feito multiplicando cada componente do vetor unitário pelo comprimento desejado:
c = 3 raiz42 cdot ( -1raiz42, 5raiz42, 4raiz42 ) = ( -3, 15, 12 )

Resposta

As coordenadas do vetor c são c = (-3, 15, 12).

Exercícios relacionados

Determine se os seguintes conjuntos são bases dos respectivos espaços vetoriais. Usando esta informação, determine a dimensão do espaço vetorial.
  • beta=(1,1),(2,3), V=R^2 ;
  • beta=(1,2),(2,4), V=R^2
  • beta=(1,1,1),(2,1,3), V=R^3;
  • beta=(1,0,1),(2,1,3),(3,1,5), V=R^3;
  • beta=(2,1,-1),(1,2,3),(-1,0,0), V=R^3;
  • beta=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0), V=R^4.
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(5 pontos) Determine os autovalores, autovetores e se for possível, encontre as matrizes P e D que diagonalizam a seguinte matriz: (aula a ser ministrada no dia 03/09 na turma 2)
(a)
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(b)
A=[lll 2 & 0 & 0 0 & 4 & 5 0 & 4 & 3 ]
(c)
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