Seja phi: R R uma função de uma variável real, diferenciável e tal que phi^prime(1)=4. Seja g(x, y)=phi(xy). Calcule
partial gpartial y(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é diferenciável e sabe que sua derivada em 1 é 4, ou seja, . A função é definida como . A missão aqui é calcular a derivada parcial de em relação a no ponto (1,1).

Passo 2

Para achar , vamos usar a regra da cadeia. Isso porque é uma composição de funções: aplicada a . Então, a derivada de em relação a vai depender da derivada de e da derivada de em relação a .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar ddy(xy) = -xy^2 em relação a . Tratando como constante, temos:

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia, a derivada parcial de partial gpartial y = phi'(xy) cdot (-xy^2) em relação a é:

Passo 5

Vamos avaliar essa expressão no ponto (1,1). Substituindo partial gpartial y(1,1) = phi'(11) cdot (-11^2) = phi'(1) cdot (-1) e :

Passo 6

Sabemos que partial gpartial y(1,1) = 4 cdot (-1) = -4 , então substituindo:

Resposta

Exercícios relacionados