Verifique que a expressão
é uma solução implícita da equação dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a expressão
é uma solução implícita da equação diferencial
. Isso envolve calcular a derivada de
em relação a
a partir da expressão dada e ver se ela coincide com a equação fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos começar diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
. Lembrando que, ao diferenciar o logaritmo natural, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
A derivada da esquerda usando a regra da cadeia fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da fração
. Usamos a regra do quociente:
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
Passo 6
Voltando à derivada inicial, temos:
Passo 7
Simplificando mais:
Passo 8
Cancelando termos:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Isolando
:
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 12
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 13
Simplificando a expressão:
Resposta
Pronto! Mostramos que
satisfaz a equação diferencial
, confirmando que é uma solução implícita da equação dada.