Verifique que a expressão ln((2y-1)/(y-1)) = t é uma solução implícita da equação dada por
d y/d t = (y - 1)(1 - 2 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a expressão ln((2y-1)/(y-1)) = t é uma solução implícita da equação diferencial . Isso envolve calcular a derivada de y em relação a t a partir da expressão dada e ver se ela coincide com a equação fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos começar diferenciando ambos os lados da equação ln((2y-1)/(y-1)) = t em relação a t. Lembrando que, ao diferenciar o logaritmo natural, usamos a regra da cadeia.

Passo 3

A derivada da esquerda usando a regra da cadeia fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da fração . Usamos a regra do quociente:

Passo 5

Simplificando a expressão acima:

Passo 6

Voltando à derivada inicial, temos:

Passo 7

Simplificando mais:

Passo 8

Cancelando termos:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Isolando dy/dt:

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 12

Dividindo ambos os lados por :

Passo 13

Simplificando a expressão:

Resposta

Pronto! Mostramos que ln((2y-1)/(y-1)) = t satisfaz a equação diferencial , confirmando que é uma solução implícita da equação dada.

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