Verifique que a expressão é uma solução implícita da equação dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a expressão é uma solução implícita da equação diferencial . Isso envolve calcular a derivada de em relação a a partir da expressão dada e ver se ela coincide com a equação fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos começar diferenciando ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que, ao diferenciar o logaritmo natural, usamos a regra da cadeia.

Passo 3

A derivada da esquerda usando a regra da cadeia fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da fração . Usamos a regra do quociente:

Passo 5

Simplificando a expressão acima:

Passo 6

Voltando à derivada inicial, temos:

Passo 7

Simplificando mais:

Passo 8

Cancelando termos:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Isolando :

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por :

Passo 12

Dividindo ambos os lados por :

Passo 13

Simplificando a expressão:

Resposta

Pronto! Mostramos que satisfaz a equação diferencial , confirmando que é uma solução implícita da equação dada.

Exercícios relacionados

Indique a ordem de cada EDO apontada e classifique quanto a linearidade.
(e)
Determine um fator integrante e resolva. .
Resp. d)
Dado que é uma solução explícita da equação , qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(e)
Encontre solução geral para as EDO. .
Resp. d) .