Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do lim t infty y(t), destacando se este comportamento depende do valor inicial y(0)=y0;
(f) d yd t=a y+b y^2, a>0, b>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dydt = a y + b y^2, onde a e b são positivos. Essa questão envolve análise de equações diferenciais, especificamente estudando o campo de direções, os pontos de equilíbrio e o comportamento das soluções conforme o tempo tende ao infinito. Vamos precisar entender como identificar e analisar esses pontos usando um pouco de teoria sobre equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as soluções de equilíbrio. Esses são os valores de y onde dydt = 0, ou seja, onde a taxa de variação de y é zero e, portanto, o sistema está em equilíbrio.
Então, resolvemos:
a y + b y^2 = 0
Fatorando y, temos:
y(a + b y) = 0
Isso nos dá duas soluções de equilíbrio:
y = 0 e y = -ab

Passo 3

Agora, vamos analisar o campo de direções. Embora não possamos desenhar aqui, podemos descrever como ele se comporta. O campo de direções nos mostra a direção da solução y(t) em cada ponto do espaço y.
Para nossa equação dydt = a y + b y^2:
  • Se y > 0, tanto a y quanto b y^2 são positivos, então dydt > 0. Isso significa que y(t) está aumentando.
  • Se - ab < y < 0, a y é negativo e b y^2 é positivo, mas o negativo de a y tem maior influência, então dydt < 0. Assim, y(t) está diminuindo.
  • Se y < -ab, ambos a y e b y^2 são negativos, então dydt < 0. Nesse caso, y(t) também está diminuindo.

Passo 4

Vamos agora analisar o comportamento do limite lim t infty y(t). Observamos os pontos de equilíbrio que encontramos:
  • y = 0
  • y = -ab
Analisando as soluções:
  • Se começarmos com y(0) > 0, já que dydt > 0, y(t) vai crescer sem limite à medida que t aumenta. Então, lim t infty y(t) = +infty.
  • Se começarmos com - ab < y(0) < 0, como dydt < 0, y(t) vai se aproximar de -ab conforme t tende ao infinito. Ou seja, lim t infty y(t) = -ab.
  • Se y(0) < -ab, também temos dydt < 0, e y(t) vai decrescer sem limite, então lim t infty y(t) = -infty.
Portanto, o comportamento de y(t) no infinito depende sim do valor inicial y(0) = y0.

Resposta

As soluções de equilíbrio são y = 0 e y = -ab. Para y0 > 0, y(t) tende a +infty; para - ab < y0 < 0, y(t) tende a -ab; e para y0 < -ab, y(t) tende a -infty. Assim, o comportamento de lim t infty y(t) depende do valor inicial y0.

Exercícios relacionados

Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do lim t infty y(t), destacando se este comportamento depende do valor inicial y(0)=y0;
(e) d yd t=e^y-1;
Sejam x e p números reais quaisquer e delta um número real positivo. Mostre que |x - p| < delta se e somente se p - delta < x < p + delta.
Em cada um dos itens abaixo, esboce o gráfico da função dada no intervalo t ≥ 0 :
(a) g(t) = u1(t) + 2 u3(t) - 6 u4(t)
Dado que y = sen(x) é uma solução explícita da equação dy/dx = raiz(1 - y^2), qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(f) [-pi/2, pi/2] U [3pi/2, 5pi/2]