Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
, destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
(f)
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
, onde
e
são positivos. Essa questão envolve análise de equações diferenciais, especificamente estudando o campo de direções, os pontos de equilíbrio e o comportamento das soluções conforme o tempo tende ao infinito. Vamos precisar entender como identificar e analisar esses pontos usando um pouco de teoria sobre equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as soluções de equilíbrio. Esses são os valores de
onde
, ou seja, onde a taxa de variação de
é zero e, portanto, o sistema está em equilíbrio.
Então, resolvemos:
Fatorando
, temos:
Isso nos dá duas soluções de equilíbrio:
Passo 3
Agora, vamos analisar o campo de direções. Embora não possamos desenhar aqui, podemos descrever como ele se comporta. O campo de direções nos mostra a direção da solução
em cada ponto do espaço
.
Para nossa equação
:
- Se
, tanto quanto são positivos, então . Isso significa que está aumentando. - Se
, é negativo e é positivo, mas o negativo de tem maior influência, então . Assim, está diminuindo. - Se
, ambos e são negativos, então . Nesse caso, também está diminuindo.
Passo 4
Vamos agora analisar o comportamento do limite
. Observamos os pontos de equilíbrio que encontramos:
Analisando as soluções:
- Se começarmos com
, já que , vai crescer sem limite à medida que aumenta. Então, . - Se começarmos com
, como , vai se aproximar de conforme tende ao infinito. Ou seja, . - Se
, também temos , e vai decrescer sem limite, então .
Portanto, o comportamento de
no infinito depende sim do valor inicial
.
Resposta
As soluções de equilíbrio são
e
. Para
,
tende a
; para
,
tende a
; e para
,
tende a
. Assim, o comportamento de
depende do valor inicial
.
Exercícios relacionados
Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do , destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
(e) ;
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
(e)
Sejam
e
números reais quaisquer e
um número real positivo. Mostre que
se e somente se
.
Em cada um dos itens abaixo, esboce o gráfico da função dada no intervalo
:
(a)
(a)
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(f)
(f)