Dado um triângulo , prove que as coordenadas do seu baricentro são dadas por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que, em um triângulo , as coordenadas do baricentro (ou centróide) são dadas por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as coordenadas de pontos em um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o baricentro. O baricentro é o ponto de encontro das medianas do triângulo, que são os segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto. Ele também é conhecido como centróide e é o “centro de massa” do triângulo.

Passo 3

Vamos considerar que os pontos , e têm coordenadas , e no plano cartesiano. Nossa meta é encontrar as coordenadas do baricentro .

Passo 4

Sabemos que o ponto médio de um segmento de reta com extremos e tem coordenadas dadas por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar os pontos médios dos lados do triângulo.

Passo 5

Vamos encontrar, por exemplo, o ponto médio do lado . As coordenadas desse ponto médio serão:
Agora, a mediana que vai de até passa pelo baricentro .

Passo 6

As coordenadas do baricentro são o ponto de equilíbrio das coordenadas dos vértices. Isso significa que é a média aritmética das coordenadas de , e :

Passo 7

Portanto, o baricentro tem coordenadas:
Isso mostra que as coordenadas do baricentro são realmente a média das coordenadas dos vértices do triângulo.

Resposta

O baricentro do triângulo tem coordenadas iguais a .

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