Dado um triângulo
, prove que as coordenadas do seu baricentro são dadas por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que, em um triângulo
, as coordenadas do baricentro (ou centróide) são dadas por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as coordenadas de pontos em um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o baricentro. O baricentro é o ponto de encontro das medianas do triângulo, que são os segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto. Ele também é conhecido como centróide e é o “centro de massa” do triângulo.
Passo 3
Vamos considerar que os pontos
,
e
têm coordenadas
,
e
no plano cartesiano. Nossa meta é encontrar as coordenadas do baricentro
.
Passo 4
Sabemos que o ponto médio de um segmento de reta com extremos
e
tem coordenadas dadas por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar os pontos médios dos lados do triângulo.
Passo 5
Vamos encontrar, por exemplo, o ponto médio do lado
. As coordenadas desse ponto médio
serão:
Agora, a mediana que vai de
até
passa pelo baricentro
.
Passo 6
As coordenadas do baricentro
são o ponto de equilíbrio das coordenadas dos vértices. Isso significa que
é a média aritmética das coordenadas de
,
e
:
Passo 7
Portanto, o baricentro
tem coordenadas:
Isso mostra que as coordenadas do baricentro são realmente a média das coordenadas dos vértices do triângulo.
Resposta
O baricentro do triângulo
tem coordenadas iguais a
.