Dado o sistema
c x+2 y-w=2 x+2 z-w=2 x+2 y+2 z-w=4 3 x+4 y+4 z-3 w=8
Resolva também o sistema homogêneo associado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A gente tem um sistema com quatro equações e quatro incógnitas ( x, y, z, w). Vamos usar álgebra linear, especificamente o método de eliminação para simplificar as equações e encontrar os valores de cada variável. Também vamos resolver o sistema homogêneo associado, que é quando todas as equações ficam iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais organizada:
c x + 2y - w = 2 x + 2z - w = 2 x + 2y + 2z - w = 4 3x + 4y + 4z - 3w = 8
Nossa meta é simplificar essas equações para encontrar os valores de x, y, z e w.

Passo 3

Vamos começar eliminando uma variável para facilitar. Vamos subtrair a primeira equação das outras para eliminar x:
  1. Segunda equação menos a primeira:
    (x + 2z - w) - (x + 2y - w) = 2 - 2
    Simplificando:
    0 + (-2y) + 2z = 0
    Ou seja:
    -2y + 2z = 0
  2. Terceira equação menos a primeira:
    (x + 2y + 2z - w) - (x + 2y - w) = 4 - 2
    Simplificando:
    0 + 0 + 2z = 2
    Ou seja:
    2z = 2
  3. Quarta equa��ão menos 3 vezes a primeira:
    (3x + 4y + 4z - 3w) - 3(x + 2y - w) = 8 - 6
    Simplificando:
    0 + (-2y) + 4z = 2
    Ou seja:
    -2y + 4z = 2
Agora nosso sistema ficou assim:
c x + 2y - w = 2 -2y + 2z = 0 2z = 2 -2y + 4z = 2

Passo 4

Vamos resolver a partir da terceira equação, que está mais simples:
2z = 2
Dividindo ambos os lados por 2:
z = 1
Agora que sabemos que z = 1, podemos usar a segunda equação para encontrar y:
-2y + 2z = 0
Substituindo z = 1:
-2y + 2(1) = 0
-2y + 2 = 0
-2y = -2
y = 1

Passo 5

Com y = 1 e z = 1, vamos voltar à primeira equação para encontrar x e w:
x + 2y - w = 2
Substituindo y = 1:
x + 2(1) - w = 2
x + 2 - w = 2
x - w = 0
x = w
Isso mostra que x e w são iguais, mas ainda não sabemos seus valores específicos. Isso acontece porque temos infinitas soluções dependendo do valor escolhido para w.

Passo 6

Como w pode ser qualquer número real, vamos chamar w = t, onde t é um parâmetro livre. Assim, temos:
x = t y = 1 z = 1 w = t
Isso significa que a solução geral do sistema é:
(x, y, z, w) = (t, 1, 1, t)
onde t é qualquer número real.

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema homogêneo, que é o mesmo sistema mas com todas as equações igualando a zero:
c x + 2y - w = 0 x + 2z - w = 0 x + 2y + 2z - w = 0 3x + 4y + 4z - 3w = 0
Vamos seguir os mesmos passos de eliminação:
  1. Segunda equação menos a primeira:
    -2y + 2z = 0
  2. Terceira equação menos a primeira:
    2z = 0 Rightarrow z = 0
  3. Quarta equação menos 3 vezes a primeira:
    -2y + 4z = 0
Com z = 0, da segunda equação:
-2y + 0 = 0 Rightarrow y = 0
Voltando à primeira equação:
x + 0 - w = 0 Rightarrow x = w
Então, temos:
x = w y = 0 z = 0 w = t
Onde t é qualquer número real.

Resposta

A solução geral do sistema é (x, y, z, w) = (t, 1, 1, t) para qualquer número real t. Já a solução do sistema homogêneo associado é (x, y, z, w) = (t, 0, 0, t) para qualquer número real t.

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