Verifique se I=[lla & b c & 0] ; a, b, c in R é ideal à direita de M(2 times 2)(R).

Passo 1

Vamos analisar se o conjunto a & b c & 0 é um ideal à direita no conjunto das matrizes com entradas reais, denotado por . Para isso, precisamos entender o que é um ideal à direita e verificar as propriedades que definem esse conceito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal à direita. Em um anel, um subconjunto é chamado de ideal à direita se:
  1. é um subgrupo aditivo do anel.
  2. Para todo elemento e para toda matriz , o produto também está em .
Vamos verificar essas duas propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. 0 & 0 0 & 0 é um subgrupo aditivo:
Para a & b c & 0 ser um subgrupo aditivo, precisamos verificar se:
  • O elemento zero está em a' & b' c' & 0 .
  • Se a + a' & b + b' c + c' & 0 , então a & b c & 0 .
  • Se -a & -b -c & 0 , então a & b c & 0 .
  • O elemento zero é m11 & m12 m21 & m22 , que está em A cdot M = a m11 + b m21 & a m12 + b m22 c m11 + 0 cdot m21 & c m12 + 0 cdot m22 = a m11 + b m21 & a m12 + b m22 c m11 & c m12 (com (c m12) = 0 ).
  • Se e , então , que também está em .
  • Se , então , que está em .
Portanto, é um subgrupo aditivo.
2. Fechamento à direita:
Precisamos verificar se para qualquer e , o produto está em .
Seja e .
Calculando :
Para estar em , a posição (2,2) deve ser zero:
Isso precisa ser verdadeiro para todo , mas podemos escolher onde e , fazendo com que . Portanto, nem sempre está em .

Resposta

O conjunto não é um ideal à direita de , pois não satisfaz a propriedade de fechamento à direita.

Exercícios relacionados

Calcule, se existir, cada produto abaixo:
(e) (ccc1 & 2 & 3 4 & 5 & 7 -4 & -5 & -7)(c1 0 -1).
Calcule, se existir, cada produto abaixo:
© binom45(ll0 & 2 4 & 8)
Dado o sistema
c x+2 y-w=2 x+2 z-w=2 x+2 y+2 z-w=4 3 x+4 y+4 z-3 w=8
Resolva também o sistema homogêneo associado.
Verifique se (I,+,. ) e um ideal do anel (A,+,. ) em cada um dos seguintes casos:
I=3 Z, A=Q