Vamos analisar se o conjunto é um ideal à direita no conjunto das matrizes com entradas reais, denotado por . Para isso, precisamos entender o que é um ideal à direita e verificar as propriedades que definem esse conceito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal à direita. Em um anel, um subconjunto é chamado de ideal à direita se:
é um subgrupo aditivo do anel.
Para todo elemento e para toda matriz , o produto também está em .
Vamos verificar essas duas propriedades para o conjunto .
Passo 3
1. é um subgrupo aditivo:
Para ser um subgrupo aditivo, precisamos verificar se:
O elemento zero está em .
Se , então .
Se , então .
O elemento zero é , que está em (com ).
Se e , então , que também está em .
Se , então , que está em .
Portanto, é um subgrupo aditivo.
2. Fechamento à direita:
Precisamos verificar se para qualquer e , o produto está em .
Seja e .
Calculando :
Para estar em , a posição (2,2) deve ser zero:
Isso precisa ser verdadeiro para todo , mas podemos escolher onde e , fazendo com que . Portanto, nem sempre está em .
Resposta
O conjunto não é um ideal à direita de , pois não satisfaz a propriedade de fechamento à direita.