Vamos verificar se é um ideal do anel . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de Álgebra, especificamente com anéis e ideais. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um ideal dentro de um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um anel é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição () e multiplicação (), que satisfazem certas propriedades. No nosso caso, é o conjunto dos números racionais com as operações de adição e multiplicação usuais.
Passo 3
Um ideal de um anel é um subconjunto de que é um subanel de e, além disso, para todo e , o produto também está em . Isso garante que o ideal seja “absorvente” em relação à multiplicação pelo anel inteiro.
Passo 4
Vamos verificar se satisfaz essas condições em :
Subgrupo aditivo: é um subgrupo de sob adição, pois se você adicionar ou subtrair dois múltiplos de 3, ainda terá um múltiplo de 3.
Multiplicação pelo anel: Para todo e (onde é inteiro), o produto . Aqui, é racional, mas será um múltiplo de 3 apenas se for inteiro.
Passo 5
No entanto, em , existem racionais que não são inteiros. Por exemplo, se escolhermos e , temos , que não está em porque não é um inteiro múltiplo de 3.
Passo 6
Isso mostra que nem todo produto com e está em . Portanto, não satisfaz a condição necessária para ser um ideal em .