Verifique se (I,+,. ) e um ideal do anel (A,+,. ) em cada um dos seguintes casos:
I=3 Z, A=Q

Passo 1

Vamos verificar se é um ideal do anel . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de Álgebra, especificamente com anéis e ideais. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um ideal dentro de um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um anel é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição ( ) e multiplicação ( ), que satisfazem certas propriedades. No nosso caso, é o conjunto dos números racionais com as operações de adição e multiplicação usuais.

Passo 3

Um ideal de um anel é um subconjunto de que é um subanel de e, além disso, para todo e , o produto também está em . Isso garante que o ideal seja “absorvente” em relação à multiplicação pelo anel inteiro.

Passo 4

Vamos verificar se satisfaz essas condições em :
  1. Subgrupo aditivo: é um subgrupo de sob adição, pois se você adicionar ou subtrair dois múltiplos de 3, ainda terá um múltiplo de 3.
  2. Multiplicação pelo anel: Para todo e (onde é inteiro), o produto . Aqui, é racional, mas será um múltiplo de 3 apenas se for inteiro.

Passo 5

No entanto, em , existem racionais que não são inteiros. Por exemplo, se escolhermos e , temos , que não está em porque não é um inteiro múltiplo de 3.

Passo 6

Isso mostra que nem todo produto com e está em . Portanto, não satisfaz a condição necessária para ser um ideal em .

Resposta

Não, não é um ideal do anel .

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Dado o sistema
c x+2 y-w=2 x+2 z-w=2 x+2 y+2 z-w=4 3 x+4 y+4 z-3 w=8
Resolva também o sistema homogêneo associado.
Verifique se I=[lla & b c & 0] ; a, b, c in R é ideal à direita de M(2 times 2)(R).
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