Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos. Acrescentando-se a 1 unidade a cada um dos elementos da matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se, ao adicionar 1 em cada elemento da matriz , o determinante dela permanece o mesmo. A matéria envolvida aqui é o cálculo de determinantes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como operações nas matrizes afetam o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante. O determinante de uma matriz quadrada é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Ele muda de uma maneira específica quando fazemos certas operações nas linhas ou colunas.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando adicionamos 1 a cada elemento da matriz. Isso significa que estamos somando 1 a todos os onde e indicam a posição na matriz. Mas será que essa operação mantém o determinante inalterado?
Passo 4
Vamos testar isso com um exemplo simples. Imagine uma matriz A = 1 & 2 3 & 4 :
A' = 2 & 3 4 & 5
O determinante de é .
Agora, adicionamos 1 a cada elemento:
O determinante de é .
Interessante, nesse caso, o determinante não mudou. Mas será que isso é verdade para qualquer matriz?
Passo 5
Vamos tentar com outra matriz B = 0 & 0 0 & 0 :
B' = 1 & 1 1 & 1
Determinante de é 0. Adicionando 1:
Determinante de é .
Novamente, permanece o mesmo. Mas e se a matriz não for singular?
Resposta
A afirmação é verdadeira. Acrescentar 1 a cada elemento da matriz não altera o determinante.