Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos. Se A for uma matriz invertível, então
também é invertível.
Passo 1
Vamos resumir a questão: precisamos descobrir se a afirmação “Se
é uma matriz invertível, então
também é invertível” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade. A matriz
é chamada de inversa de
e é denotada por
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transposta da matriz
, que é denotada por
. A transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas da matriz. Uma propriedade importante é que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa:
Passo 4
Sabendo que
é invertível e que
existe, vamos verificar se
também possui inversa. Aplicando a propriedade das transpostas ao inverso, temos:
Isso mostra que a transposta de
também possui uma inversa, que é a transposta da inversa de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é uma matriz invertível, então
também é invertível.