Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos. Se A for uma matriz invertível, então A^t também é invertível.

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos descobrir se a afirmação “Se é uma matriz invertível, então também é invertível” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz AB = BA = I é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. A matriz é chamada de inversa de e é denotada por .

Passo 3

Agora, vamos considerar a transposta da matriz (AB)^t = B^tA^t , que é denotada por . A transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas da matriz. Uma propriedade importante é que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa:

Passo 4

Sabendo que (A^t)^-1 = (A^-1)^t é invertível e que existe, vamos verificar se também possui inversa. Aplicando a propriedade das transpostas ao inverso, temos:
Isso mostra que a transposta de também possui uma inversa, que é a transposta da inversa de .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se é uma matriz invertível, então também é invertível.

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